Calcul infinitésimal Exemples

$\int e^{- s t} t d t$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = t$ et $d v = e^{- s t}$ .

$t (- \frac{e^{- s t}}{s}) - \int - \frac{e^{- s t}}{s} d t$

Étape 2

Associez $t$ et $\frac{e^{- s t}}{s}$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \int - \frac{e^{- s t}}{s} d t$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - - \int \frac{e^{- s t}}{s} d t$

Étape 4

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Étape 4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + 1 \int \frac{e^{- s t}}{s} d t$

Étape 4.2

Multipliez $\int \frac{e^{- s t}}{s} d t$ par $1$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \int \frac{e^{- s t}}{s} d t$

Étape 5

Comme $\frac{1}{s}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{s}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} \int e^{- s t} d t$

Étape 6

Laissez $u = - s t$ . Alors $d u = - s d t$ , donc $- \frac{1}{s} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1

Laissez $u = - s t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $- s t$ .

$\frac{d}{d t} [- s t]$

Étape 6.1.2

Comme $- s$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- s t$ par rapport à $t$ est $- s \frac{d}{d t} [t]$ .

$- s \frac{d}{d t} [t]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- s \cdot 1$

Étape 6.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- s$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} \int - e^{u} \frac{- 1}{- s} d u$

Étape 7

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Étape 7.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} \int - e^{u} \frac{1}{s} d u$

Étape 7.2

Associez $\frac{1}{s}$ et $e^{u}$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} \int - \frac{e^{u}}{s} d u$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} (- \int \frac{e^{u}}{s} d u)$

Étape 9

Comme $\frac{1}{s}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{s}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} + \frac{1}{s} (- (\frac{1}{s} \int e^{u} d u))$

Étape 10

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Étape 10.1

Multipliez $\frac{1}{s}$ par $\frac{1}{s}$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s \cdot s} \int e^{u} d u$

Étape 10.2

Élevez $s$ à la puissance $1$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{1} s} \int e^{u} d u$

Étape 10.3

Élevez $s$ à la puissance $1$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{1} s^{1}} \int e^{u} d u$

Étape 10.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{1 + 1}} \int e^{u} d u$

Étape 10.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{2}} \int e^{u} d u$

Étape 11

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{2}} (e^{u} + C)$

Étape 12

Réécrivez $- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{1}{s^{2}} (e^{u} + C)$ comme $- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{e^{u}}{s^{2}} + C$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{e^{u}}{s^{2}} + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- s t$ .

$- \frac{t e^{- s t}}{s} - \frac{e^{- s t}}{s^{2}} + C$