Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x}{{(1 - x)}^{10}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 1 - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - 1$

Étape 1.1.4

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 1$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{- (- u + 1)}{u^{10}} d u$

Étape 2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int - \frac{- u + 1}{u^{10}} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{- u + 1}{u^{10}} d u$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Retirez $u^{10}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \int (- u + 1) {(u^{10})}^{- 1} d u$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{10})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int (- u + 1) u^{10 \cdot - 1} d u$

Étape 4.2.2

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$- \int (- u + 1) u^{- 10} d u$

Étape 5

Multipliez $(- u + 1) u^{- 10}$ .

$- \int - u \cdot u^{- 10} + 1 u^{- 10} d u$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez $u$ par $u^{- 10}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.1

Déplacez $u^{- 10}$ .

$- \int - (u^{- 10} u) + 1 u^{- 10} d u$

Étape 6.1.2

Multipliez $u^{- 10}$ par $u$ .

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Étape 6.1.2.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$- \int - (u^{- 10} u^{1}) + 1 u^{- 10} d u$

Étape 6.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \int - u^{- 10 + 1} + 1 u^{- 10} d u$

Étape 6.1.3

Additionnez $- 10$ et $1$ .

$- \int - u^{- 9} + 1 u^{- 10} d u$

Étape 6.2

Multipliez $u^{- 10}$ par $1$ .

$- \int - u^{- 9} + u^{- 10} d u$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- (\int - u^{- 9} d u + \int u^{- 10} d u)$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- (- \int u^{- 9} d u + \int u^{- 10} d u)$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 9}$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{8} u^{- 8}$ .

$- (- (- \frac{1}{8} u^{- 8} + C) + \int u^{- 10} d u)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Associez $u^{- 8}$ et $\frac{1}{8}$ .

$- (- (- \frac{u^{- 8}}{8} + C) + \int u^{- 10} d u)$

Étape 10.2

Placez $u^{- 8}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- (- \frac{1}{8 u^{8}} + C) + \int u^{- 10} d u)$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 10}$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{9} u^{- 9}$ .

$- (- (- \frac{1}{8 u^{8}} + C) - \frac{1}{9} u^{- 9} + C)$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Simplifiez

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Étape 12.1.1

Associez $u^{- 9}$ et $\frac{1}{9}$ .

$- (- (- \frac{1}{8 u^{8}} + C) - \frac{u^{- 9}}{9} + C)$

Étape 12.1.2

Placez $u^{- 9}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- (- \frac{1}{8 u^{8}} + C) - \frac{1}{9 u^{9}} + C)$

Étape 12.2

Simplifiez

$- (\frac{1}{8 u^{8}} - \frac{1}{9 u^{9}}) + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x$ .

$- (\frac{1}{8 {(1 - x)}^{8}} - \frac{1}{9 {(1 - x)}^{9}}) + C$