Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sqrt{t} (t^{4} + t - 4) d t$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = t^{4} + t - 4$ et $d v = \sqrt{t}$ .

$(t^{4} + t - 4) (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} (4 t^{3} + 1) d t$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $t^{\frac{3}{2}}$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} (4 t^{3} + 1) d t$

Étape 2.2

Associez $\frac{2}{3}$ et $t^{\frac{3}{2}}$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} (4 t^{3} + 1) d t$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} (4 t^{3}) + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 1 d t$

Étape 3.2

Remettez dans l’ordre $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ et $4$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 4 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} t^{3} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 1 d t$

Étape 3.3

Remettez dans l’ordre $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ et $1$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 4 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} t^{3} + 1 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Étape 3.4

Associez $4$ et $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 (2 t^{\frac{3}{2}})}{3} t^{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Étape 3.5

Multipliez $4$ par $2$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} t^{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Étape 3.6

Associez $\frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ et $t^{3}$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{8 t^{\frac{3}{2}} t^{3}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Étape 3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{8 t^{\frac{3}{2} + 3}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Étape 3.8

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{8 t^{\frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Étape 3.9

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{8 t^{\frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Étape 3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{8 t^{\frac{3 + 3 \cdot 2}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Étape 3.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.11.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{8 t^{\frac{3 + 6}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Étape 3.11.2

Additionnez $3$ et $6$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{8 t^{\frac{9}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Étape 3.12

Multipliez $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ par $1$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{8 t^{\frac{9}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\int \frac{8 t^{\frac{9}{2}}}{3} d t + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

Étape 5

Comme $\frac{8}{3}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{8}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8}{3} \int t^{\frac{9}{2}} d t + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{\frac{9}{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{2}{11} t^{\frac{11}{2}}$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8}{3} (\frac{2}{11} t^{\frac{11}{2}} + C) + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

Étape 7

Associez $\frac{2}{11}$ et $t^{\frac{11}{2}}$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8}{3} (\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{11} + C) + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

Étape 8

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{2}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8}{3} (\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{11} + C) + \frac{2}{3} \int t^{\frac{3}{2}} d t)$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8}{3} (\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{11} + C) + \frac{2}{3} (\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C))$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Associez $\frac{2}{5}$ et $t^{\frac{5}{2}}$ .

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8}{3} (\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{11} + C) + \frac{2}{3} (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Étape 10.2

Simplifiez

$\frac{t^{\frac{11}{2}} \cdot 2}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{11} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Étape 10.3

Simplifiez

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Étape 10.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $t^{\frac{11}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot t^{\frac{11}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{11} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Étape 10.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{11} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Étape 10.3.3

Multipliez $\frac{8}{3}$ par $\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{11}$ .

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 (2 t^{\frac{11}{2}})}{3 \cdot 11} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Étape 10.3.4

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{3 \cdot 11} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Étape 10.3.5

Multipliez $3$ par $11$ .

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Étape 10.3.6

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{2 (2 t^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}) + C$

Étape 10.3.7

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 5}) + C$

Étape 10.3.8

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Étape 10.3.9

Pour écrire $- (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{3} - (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Étape 10.3.10

Associez $- (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15})$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{3} + \frac{- (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot 3}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Étape 10.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}} - (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot 3}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Étape 10.3.12

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}} - 3 (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15})}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Étape 11

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} (2 t^{\frac{11}{2}} - 3 (\frac{16}{33} t^{\frac{11}{2}} + \frac{4}{15} t^{\frac{5}{2}})) + \frac{2}{3} t^{\frac{5}{2}} - \frac{8}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$