Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{v + 1}{- 1 - v^{2}} d v$

Étape 1

Divisez la fraction $\frac{v + 1}{- 1 - v^{2}}$ en deux fractions.

$\int \frac{v}{- 1 - v^{2}} + \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{v}{- 1 - v^{2}} d v + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Étape 3

Laissez $u = - 1 - v^{2}$ . Alors $d u = - 2 v d v$ , donc $- \frac{1}{2} d u = v d v$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = - 1 - v^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d v}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $- 1 - v^{2}$ .

$\frac{d}{d v} [- 1 - v^{2}]$

Étape 3.1.2

Différenciez.

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Étape 3.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 1 - v^{2}$ par rapport à $v$ est $\frac{d}{d v} [- 1] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

$\frac{d}{d v} [- 1] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$

Étape 3.1.2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $v$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$

Étape 3.1.3

Évaluez $\frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

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Étape 3.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $- v^{2}$ par rapport à $v$ est $- \frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d v} [v^{2}]$

Étape 3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ est $n v^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - (2 v)$

Étape 3.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 2 v$

Étape 3.1.4

Soustrayez $2 v$ de $0$ .

$- 2 v$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Étape 4.3

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Étape 7

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Étape 8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 - v^{2}$ .

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Étape 8.1

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 \cdot 1 - v^{2}} d v$

Étape 8.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 \cdot 1$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 (1) - v^{2}} d v$

Étape 8.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- v^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 (1) - (v^{2})} d v$

Étape 8.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (v^{2})$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 (1 + v^{2})} d v$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Réécrivez $- 1 (1 + v^{2})$ comme $- (1 + v^{2})$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- (1 + v^{2})} d v$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 9.2.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{- 1 (- 1)}{- (1 + v^{2})} d v$

Étape 9.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int - \frac{1}{1 + v^{2}} d v$

Étape 10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $v$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{1 + v^{2}} d v$

Étape 11

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{1^{2} + v^{2}} d v$

Étape 12

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + v^{2}}$ par rapport à $v$ est $\arctan (v) + C$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - (\arctan (v) + C)$

Étape 13

Simplifiez

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) - \arctan (v) + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 1 - v^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - 1 - v^{2} |) - \arctan (v) + C$