Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sqrt{3 + s} {(s + 1)}^{2} d s$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = {(s + 1)}^{2}$ et $d v = \sqrt{3 + s}$ .

${(s + 1)}^{2} (\frac{2}{3} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} (2 s + 2) d s$

Étape 2

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Étape 2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(3 + s)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(s + 1)}^{2} \frac{2 {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} (2 s + 2) d s$

Étape 2.2

Associez ${(s + 1)}^{2}$ et $\frac{2 {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{{(s + 1)}^{2} (2 {(3 + s)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} (2 s + 2) d s$

Étape 2.3

Déplacez $2$ à gauche de ${(s + 1)}^{2}$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} (2 s + 2) d s$

Étape 3

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $s$ , placez $\frac{2}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2}{3} \int {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} (2 s + 2) d s)$

Étape 4

Laissez $u = 3 + s$ . Puis $d u = d s$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 3 + s$ . Déterminez $\frac{d u}{d s}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $3 + s$ .

$\frac{d}{d s} [3 + s]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 + s$ par rapport à $s$ est $\frac{d}{d s} [3] + \frac{d}{d s} [s]$ .

$\frac{d}{d s} [3] + \frac{d}{d s} [s]$

Étape 4.1.3

Comme $3$ est constant par rapport à $s$ , la dérivée de $3$ par rapport à $s$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d s} [s]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ est $n s^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 4.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (2 (u - 3) + 2) d u$

Étape 5

Développez $u^{\frac{3}{2}} (2 (u - 3) + 2)$ .

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (2 u + 2 \cdot - 3 + 2) d u$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (2 u + 2 \cdot - 3) + u^{\frac{3}{2}} \cdot 2 d u$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (2 u) + u^{\frac{3}{2}} (2 \cdot - 3) + u^{\frac{3}{2}} \cdot 2 d u$

Étape 5.4

Remettez dans l’ordre $u^{\frac{3}{2}}$ et $2$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 \cdot u^{\frac{3}{2}} u + u^{\frac{3}{2}} (2 \cdot - 3) + u^{\frac{3}{2}} \cdot 2 d u$

Étape 5.5

Déplacez $u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 \cdot u^{\frac{3}{2}} u + 2 \cdot - 3 u^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{3}{2}} \cdot 2 d u$

Étape 5.6

Remettez dans l’ordre $u^{\frac{3}{2}}$ et $2$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 \cdot u^{\frac{3}{2}} u + 2 \cdot - 3 u^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 5.7

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 (u^{\frac{3}{2}} u^{1}) + 2 \cdot - 3 u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 5.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 u^{\frac{3}{2} + 1} + 2 \cdot - 3 u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 5.9

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 u^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 2 \cdot - 3 u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 5.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 u^{\frac{3 + 2}{2}} + 2 \cdot - 3 u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 5.11

Additionnez $3$ et $2$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 u^{\frac{5}{2}} + 2 \cdot - 3 u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 5.12

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 u^{\frac{5}{2}} - 6 u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 5.13

Additionnez $- 6 u^{\frac{3}{2}}$ et $2 u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 u^{\frac{5}{2}} - 4 u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\int 2 u^{\frac{5}{2}} d u + \int - 4 u^{\frac{3}{2}} d u)$

Étape 7

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (2 \int u^{\frac{5}{2}} d u + \int - 4 u^{\frac{3}{2}} d u)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{5}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (2 (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C) + \int - 4 u^{\frac{3}{2}} d u)$

Étape 9

Comme $- 4$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (2 (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C) - 4 \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (2 (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C) - 4 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

Étape 11

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Étape 11.1

Simplifiez

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Étape 11.2

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Étape 11.2.1

Pour écrire $- \frac{2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot \frac{3}{3} + C$

Étape 11.2.2

Associez $- \frac{2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot 3}{3} + C$

Étape 11.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot 3}{3} + C$

Étape 11.2.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} - 3 (\frac{2}{3}) (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Étape 11.2.5

Associez $- 3$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 \cdot 2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Étape 11.2.6

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Étape 11.2.7

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $3$ .

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Étape 11.2.7.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Étape 11.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Étape 11.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Étape 11.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2}{1} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Étape 11.2.7.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 + s$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{4 {(3 + s)}^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 {(3 + s)}^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Étape 13

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} (2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{4}{7} {(3 + s)}^{\frac{7}{2}} - \frac{8}{5} {(3 + s)}^{\frac{5}{2}})) + C$