Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{3} e^{5 x} d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{3}$ et $d v = e^{5 x}$ .

$x^{3} (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (3 x^{2}) d x$

Étape 2

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $e^{5 x}$ .

$x^{3} \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (3 x^{2}) d x$

Étape 2.2

Associez $x^{3}$ et $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (3 x^{2}) d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{5} \cdot 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{5} \cdot 3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - (\frac{1}{5} \cdot 3 \int e^{5 x} (x^{2}) d x)$

Étape 4

Associez $\frac{1}{5}$ et $3$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} \int e^{5 x} (x^{2}) d x$

Étape 5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2}$ et $d v = e^{5 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (x^{2} (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x)$

Étape 6

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $e^{5 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (x^{2} \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x)$

Étape 6.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x)$

Étape 6.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $e^{5 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} (2 x) d x)$

Étape 6.4

Associez $2$ et $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{2 e^{5 x}}{5} x d x)$

Étape 6.5

Associez $\frac{2 e^{5 x}}{5}$ et $x$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{2 e^{5 x} x}{5} d x)$

Étape 7

Comme $\frac{2}{5}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{2}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - (\frac{2}{5} \int e^{5 x} x d x))$

Étape 8

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{5 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x))$

Étape 9

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $e^{5 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x))$

Étape 9.2

Associez $x$ et $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x))$

Étape 9.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $e^{5 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} d x))$

Étape 10

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - (\frac{1}{5} \int e^{5 x} d x)))$

Étape 11

Laissez $u = 5 x$ . Alors $d u = 5 d x$ , donc $\frac{1}{5} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 11.1

Laissez $u = 5 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 11.1.1

Différenciez $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 11.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 11.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Étape 11.1.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$5$

Étape 11.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{1}{5} d u))$

Étape 12

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int \frac{e^{u}}{5} d u))$

Étape 13

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)))$

Étape 14

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Étape 14.1

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{1}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int e^{u} d u))$

Étape 14.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} \int e^{u} d u))$

Étape 15

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)))$

Étape 16

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Étape 16.1

Réécrivez $\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)))$ comme $\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125}) + C$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125}) + C$

Étape 16.2

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Étape 16.2.1

Pour écrire $- \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125}) \cdot \frac{5}{5} + C$

Étape 16.2.2

Associez $- \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} + \frac{- \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125}) \cdot 5}{5} + C$

Étape 16.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{3} e^{5 x} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125}) \cdot 5}{5} + C$

Étape 16.2.4

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x} - 5 (\frac{3}{5}) (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

Étape 16.2.5

Associez $- 5$ et $\frac{3}{5}$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x} + \frac{- 5 \cdot 3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

Étape 16.2.6

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x} + \frac{- 15}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

Étape 16.2.7

Annulez le facteur commun à $- 15$ et $5$ .

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Étape 16.2.7.1

Factorisez $5$ à partir de $- 15$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x} + \frac{5 \cdot - 3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

Étape 16.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 16.2.7.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x} + \frac{5 \cdot - 3}{5 (1)} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

Étape 16.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3} e^{5 x} + \frac{5 \cdot - 3}{5 \cdot 1} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

Étape 16.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{3} e^{5 x} + \frac{- 3}{1} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

Étape 16.2.7.2.4

Divisez $- 3$ par $1$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x} - 3 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125})}{5} + C$

Étape 17

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x$ .

$\frac{x^{3} e^{5 x} - 3 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{5 x}}{125})}{5} + C$

Étape 18

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{5} (x^{3} e^{5 x} - 3 (\frac{1}{5} x^{2} e^{5 x} - \frac{2}{25} x e^{5 x} + \frac{2}{125} e^{5 x})) + C$