Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{3} \sqrt{x^{2} - 25} d x$

Étape 1

Laissez $x = 5 \sec (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 5 \sec (t) \tan (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \sec (t) \tan (t)$ est positif.

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $5 \sec (t)$ .

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{5^{2} \sec^{2} (t) - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{25 \sec^{2} (t) - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.2

Factorisez $25$ à partir de $25 \sec^{2} (t)$ .

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{25 (\sec^{2} (t)) - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.3

Factorisez $25$ à partir de $- 25$ .

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.4

Factorisez $25$ à partir de $25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1$ .

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{25 (\sec^{2} (t) - 1)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{25 \tan^{2} (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.6

Réécrivez $25 \tan^{2} (t)$ comme ${(5 \tan (t))}^{2}$ .

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{{(5 \tan (t))}^{2}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int {(5 \sec (t))}^{3} (5 \tan (t)) (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 \sec (t)$ .

$\int {(5 (\sec (t)))}^{3} (5 \tan (t)) (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de produit à $5 (\sec (t))$ .

$\int 5^{3} \sec^{3} (t) (5 \tan (t)) (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.2.3

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$\int 125 \sec^{3} (t) (5 \tan (t)) (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.2.4

Multipliez $5$ par $125$ .

$\int 625 \sec^{3} (t) \tan (t) (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.2.5

Multipliez $5$ par $625$ .

$\int 3125 \sec^{3} (t) \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.2.6

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$\int 3125 (\sec^{1} (t) \sec^{3} (t)) \tan (t) \tan (t) d t$

Étape 2.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 3125 {\sec (t)}^{1 + 3} \tan (t) \tan (t) d t$

Étape 2.2.8

Additionnez $1$ et $3$ .

$\int 3125 \sec^{4} (t) \tan (t) \tan (t) d t$

Étape 2.2.9

Élevez $\tan (t)$ à la puissance $1$ .

$\int 3125 \sec^{4} (t) (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.2.10

Élevez $\tan (t)$ à la puissance $1$ .

$\int 3125 \sec^{4} (t) (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

Étape 2.2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 3125 \sec^{4} (t) {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Étape 2.2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int 3125 \sec^{4} (t) \tan^{2} (t) d t$

Étape 3

Comme $3125$ est constant par rapport à $t$ , placez $3125$ en dehors de l’intégrale.

$3125 \int \sec^{4} (t) \tan^{2} (t) d t$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Réécrivez $4$ comme $2$ plus $2$

$3125 \int {\sec (t)}^{2 + 2} \tan^{2} (t) d t$

Étape 4.2

Réécrivez ${\sec (t)}^{2 + 2}$ comme $\sec^{2} (t) \sec^{2} (t)$ .

$3125 \int \sec^{2} (t) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

Étape 5

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\sec^{2} (t)$ comme $1 + \tan^{2} (t)$ .

$3125 \int (1 + \tan^{2} (t)) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

Étape 6

Laissez $u = \tan (t)$ . Alors $d u = \sec^{2} (t) d t$ , donc $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1

Laissez $u = \tan (t)$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $\tan (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Étape 6.1.2

La dérivée de $\tan (t)$ par rapport à $t$ est $\sec^{2} (t)$ .

$\sec^{2} (t)$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$3125 \int (1 + u^{2}) u^{2} d u$

Étape 7

Multipliez $(1 + u^{2}) u^{2}$ .

$3125 \int 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Multipliez $u^{2}$ par $1$ .

$3125 \int u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Étape 8.2

Multipliez $u^{2}$ par $u^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3125 \int u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Étape 8.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$3125 \int u^{2} + u^{4} d u$

Étape 9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$3125 (\int u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3125 (\frac{1}{3} u^{3} + C + \int u^{4} d u)$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$3125 (\frac{1}{3} u^{3} + C + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Simplifiez

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Étape 12.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{3}$ .

$3125 (\frac{u^{3}}{3} + C + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Étape 12.1.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $u^{5}$ .

$3125 (\frac{u^{3}}{3} + C + \frac{u^{5}}{5} + C)$

Étape 12.2

Simplifiez

$3125 (\frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5}) + C$

Étape 13

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 13.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\tan (t)$ .

$3125 (\frac{1}{3} \tan^{3} (t) + \frac{1}{5} \tan^{5} (t)) + C$

Étape 13.2

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $arcsec (\frac{x}{5})$ .

$3125 (\frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5})) + \frac{1}{5} \tan^{5} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Étape 14

Remettez les termes dans l’ordre.

$3125 (\frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{1}{5} x)) + \frac{1}{5} \tan^{5} (arcsec (\frac{1}{5} x))) + C$