Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{4} (x^{3} + 8 x^{2} + 7) d x$

Étape 1

Développez $x^{4} (x^{3} + 8 x^{2} + 7)$ .

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{4} (x^{3} + 8 x^{2}) + x^{4} \cdot 7 d x$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{4} x^{3} + x^{4} (8 x^{2}) + x^{4} \cdot 7 d x$

Étape 1.3

Remettez dans l’ordre $x^{4}$ et $8$ .

$\int x^{4} x^{3} + 8 \cdot x^{4} x^{2} + x^{4} \cdot 7 d x$

Étape 1.4

Remettez dans l’ordre $x^{4}$ et $7$ .

$\int x^{4} x^{3} + 8 \cdot x^{4} x^{2} + 7 \cdot x^{4} d x$

Étape 1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{4 + 3} + 8 x^{4} x^{2} + 7 x^{4} d x$

Étape 1.6

Additionnez $4$ et $3$ .

$\int x^{7} + 8 x^{4} x^{2} + 7 x^{4} d x$

Étape 1.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{7} + 8 x^{4 + 2} + 7 x^{4} d x$

Étape 1.8

Additionnez $4$ et $2$ .

$\int x^{7} + 8 x^{6} + 7 x^{4} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{7} d x + \int 8 x^{6} d x + \int 7 x^{4} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{7}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{8} x^{8}$ .

$\frac{1}{8} x^{8} + C + \int 8 x^{6} d x + \int 7 x^{4} d x$

Étape 4

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{8} x^{8} + C + 8 \int x^{6} d x + \int 7 x^{4} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$\frac{1}{8} x^{8} + C + 8 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + \int 7 x^{4} d x$

Étape 6

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{8} x^{8} + C + 8 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 7 \int x^{4} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{8} x^{8} + C + 8 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 7 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez

$\frac{x^{8}}{8} + \frac{8 x^{7}}{7} + 7 (\frac{1}{5} x^{5}) + C$

Étape 8.2

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Étape 8.2.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{5}$ .

$\frac{x^{8}}{8} + \frac{8 x^{7}}{7} + 7 \frac{x^{5}}{5} + C$

Étape 8.2.2

Associez $7$ et $\frac{x^{5}}{5}$ .

$\frac{x^{8}}{8} + \frac{8 x^{7}}{7} + \frac{7 x^{5}}{5} + C$

Étape 8.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{8} x^{8} + \frac{8}{7} x^{7} + \frac{7}{5} x^{5} + C$