Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{3} \sin (2 x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{3}$ et $d v = \sin (2 x)$ .

$x^{3} (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) (3 x^{2}) d x$

Étape 2

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Étape 2.1

Associez $\cos (2 x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$x^{3} (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) (3 x^{2}) d x$

Étape 2.2

Associez $x^{3}$ et $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) (3 x^{2}) d x$

Étape 3

Comme $- \frac{1}{2} \cdot 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- \frac{1}{2} \cdot 3$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 3 \int \cos (2 x) (x^{2}) d x)$

Étape 4

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Étape 4.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} - (- 3 (\frac{1}{2}) \int \cos (2 x) (x^{2}) d x)$

Étape 4.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} - (\frac{- 3}{2} \int \cos (2 x) (x^{2}) d x)$

Étape 4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} - (- \frac{3}{2} \int \cos (2 x) (x^{2}) d x)$

Étape 4.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + 1 (\frac{3}{2} \int \cos (2 x) (x^{2}) d x)$

Étape 4.5

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $1$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} \int \cos (2 x) (x^{2}) d x$

Étape 5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2}$ et $d v = \cos (2 x)$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x)$

Étape 6

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (2 x)$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (x^{2} \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x)$

Étape 6.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (2 x) d x)$

Étape 6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (2 x)$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \frac{\sin (2 x)}{2} (2 x) d x)$

Étape 6.4

Associez $2$ et $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \frac{2 \sin (2 x)}{2} x d x)$

Étape 6.5

Associez $\frac{2 \sin (2 x)}{2}$ et $x$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \frac{2 \sin (2 x) x}{2} d x)$

Étape 6.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.6.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \frac{2 \sin (2 x) x}{2} d x)$

Étape 6.6.2

Divisez $\sin (2 x) x$ par $1$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - \int \sin (2 x) x d x)$

Étape 7

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sin (2 x)$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x))$

Étape 8

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Étape 8.1

Associez $\cos (2 x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x))$

Étape 8.2

Associez $x$ et $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x))$

Étape 8.3

Associez $\cos (2 x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{\cos (2 x)}{2} d x))$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - - \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x))$

Étape 10

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Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x))$

Étape 10.2

Multipliez $\int \frac{\cos (2 x)}{2} d x$ par $1$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x))$

Étape 11

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x))$

Étape 12

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 12.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 12.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 12.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 12.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 12.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 12.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u))$

Étape 13

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u))$

Étape 14

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)))$

Étape 15

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Étape 15.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u))$

Étape 15.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u))$

Étape 16

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)))$

Étape 17

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Étape 17.1

Réécrivez $- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} - (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)))$ comme $- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4}) + C$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4}) + C$

Étape 17.2

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Étape 17.2.1

Pour écrire $\frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Étape 17.2.2

Associez $\frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x^{3} \cos (2 x)}{2} + \frac{\frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Étape 17.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Étape 17.2.4

Associez $2$ et $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{2 \cdot 3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Étape 17.2.5

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{6}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Étape 17.2.6

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 17.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{2 \cdot 3}{2} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Étape 17.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 17.2.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Étape 17.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Étape 17.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{3}{1} (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Étape 17.2.6.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + 3 (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (u)}{4})}{2} + C$

Étape 18

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + 3 (\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{x \cos (2 x)}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Étape 19

Simplifiez

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Étape 19.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 19.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + 3 \frac{x^{2} \sin (2 x)}{2} + 3 \frac{x \cos (2 x)}{2} + 3 (- \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Étape 19.1.2

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Étape 19.1.2.1

Associez $3$ et $\frac{x^{2} \sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{3 (x^{2} \sin (2 x))}{2} + 3 \frac{x \cos (2 x)}{2} + 3 (- \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Étape 19.1.2.2

Associez $3$ et $\frac{x \cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{3 (x^{2} \sin (2 x))}{2} + \frac{3 (x \cos (2 x))}{2} + 3 (- \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Étape 19.1.2.3

Multipliez $3 (- \frac{\sin (2 x)}{4})$ .

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Étape 19.1.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{3 (x^{2} \sin (2 x))}{2} + \frac{3 (x \cos (2 x))}{2} - 3 \frac{\sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Étape 19.1.2.3.2

Associez $- 3$ et $\frac{\sin (2 x)}{4}$ .

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{3 (x^{2} \sin (2 x))}{2} + \frac{3 (x \cos (2 x))}{2} + \frac{- 3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Étape 19.1.3

Simplifiez chaque terme.

$\frac{- x^{3} \cos (2 x) + \frac{3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{3 x \cos (2 x)}{2} - \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Étape 19.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3} \cos (2 x)$ .

$\frac{- (x^{3} \cos (2 x)) + \frac{3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{3 x \cos (2 x)}{2} - \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Étape 19.3

Factorisez $- 1$ à partir de $\frac{3 x^{2} \sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{- (x^{3} \cos (2 x)) - \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{3 x \cos (2 x)}{2} - \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Étape 19.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3} \cos (2 x)) - \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2}) + \frac{3 x \cos (2 x)}{2} - \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Étape 19.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\frac{3 x \cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2}) - \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2} - \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Étape 19.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2}) - \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2}) - \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Étape 19.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{3 \sin (2 x)}{4}$ .

$\frac{- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2}) - (\frac{3 \sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Étape 19.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2}) - (\frac{3 \sin (2 x)}{4})$ .

$\frac{- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2} + \frac{3 \sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Étape 19.9

Réécrivez $- (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2} + \frac{3 \sin (2 x)}{4})$ comme $- 1 (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2} + \frac{3 \sin (2 x)}{4})$ .

$\frac{- 1 (x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2} + \frac{3 \sin (2 x)}{4})}{2} + C$

Étape 19.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x) + \frac{- 3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2} + \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Étape 19.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x) - \frac{3 x^{2} \sin (2 x)}{2} + \frac{- 3 x \cos (2 x)}{2} + \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Étape 19.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{3} \cos (2 x) - \frac{3 x^{2} \sin (2 x)}{2} - \frac{3 x \cos (2 x)}{2} + \frac{3 \sin (2 x)}{4}}{2} + C$

Étape 19.13

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{2} (x^{3} \cos (2 x) - \frac{3}{2} x^{2} \sin (2 x) - \frac{3}{2} x \cos (2 x) + \frac{3}{4} \sin (2 x)) + C$