Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x + 2}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x$

Étape 1

Laissez $x = 2 \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 2 \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \cos (t)$ est positif.

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.1.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{4 \cos^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.6

Réécrivez $4 \cos^{2} (t)$ comme ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{\sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{2 \cos (t)} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $2 \cos (t)$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{2 \sin (t) + 2}{2 \cos (t)} (2 \cos (t)) d t$

Étape 2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\int 2 \sin (t) + 2 d t$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 \sin (t) d t + \int 2 d t$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \sin (t) d t + \int 2 d t$

Étape 5

L’intégrale de $\sin (t)$ par rapport à $t$ est $- \cos (t)$ .

$2 (- \cos (t) + C) + \int 2 d t$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$2 (- \cos (t) + C) + 2 t + C$

Étape 7

Simplifiez

$- 2 \cos (t) + 2 t + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (\frac{x}{2})$ .

$- 2 \cos (\arcsin (\frac{x}{2})) + 2 \arcsin (\frac{x}{2}) + C$

Étape 9

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 \cos (\arcsin (\frac{1}{2} x)) + 2 \arcsin (\frac{1}{2} x) + C$