Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) + \cos (x) \sin (x) d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) \sin (x) d x$

Étape 2

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) \sin (x) d x$

Étape 3

Laissez $u = \cos (x)$ . Alors $d u = - \sin (x) d x$ , donc $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Laissez $u = \cos (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Différenciez $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Étape 3.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Étape 3.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 3.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Étape 3.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 3.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Étape 3.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{1}^{0} - u d u$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{1}^{0} u d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (\frac{1}{2} u^{2}]_{1}^{0})$

Étape 6

Associez $\frac{1}{2}$ et $u^{2}$ .

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (\frac{u^{2}}{2}]_{1}^{0})$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Évaluez $- \cos (x)$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $0$ .

$(- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0) - (\frac{u^{2}}{2}]_{1}^{0})$

Étape 7.2

Évaluez $\frac{u^{2}}{2}$ sur $0$ et sur $1$ .

$(- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{0}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.3.2

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{2 (0)}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{0}{1} - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.3.2.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (0 - \frac{1^{2}}{2})$

Étape 7.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (0 - \frac{1}{2})$

Étape 7.3.4

Soustrayez $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - - \frac{1}{2}$

Étape 7.3.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) + 1 (\frac{1}{2})$

Étape 7.3.6

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) + \frac{1}{2}$

Étape 8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$- 0 + \cos (0) + \frac{1}{2}$

Étape 8.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 0 + 1 + \frac{1}{2}$

Étape 8.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + 1 + \frac{1}{2}$

Étape 8.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$1 + \frac{1}{2}$

Étape 8.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 8.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 + 1}{2}$

Étape 8.7

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{3}{2}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{3}{2}$

Forme décimale :

$1.5$

Forme de nombre mixte :

$1 \frac{1}{2}$