Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (2 x) d x$

Étape 1

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 1.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{3}$

Étape 1.5

Associez $2$ et $\frac{π}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) d u$

Étape 4

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{2 π}{3}}$

Étape 5

Évaluez $\sin (u)$ sur $\frac{2 π}{3}$ et sur $0$ .

$\frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0))$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 0)$

Étape 6.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) + 0)$

Étape 6.3

Additionnez $\sin (\frac{2 π}{3})$ et $0$ .

$\frac{1}{2} \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 6.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (\frac{2 π}{3})$ .

$\frac{\sin (\frac{2 π}{3})}{2}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{\sin (\frac{π}{3})}{2}$

Étape 7.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}$

Étape 7.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 7.3

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 7.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{3}}{4}$

Forme décimale :

$0.43301270 \dots$