Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 5 \tan^{5} (x) \sec^{4} (x) d x$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) \sec^{4} (x) d x$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Réécrivez $4$ comme $2$ plus $2$

$5 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Étape 2.2

Réécrivez ${\sec (x)}^{2 + 2}$ comme $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$5 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)) d x$

Étape 3

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\sec^{2} (x)$ comme $1 + \tan^{2} (x)$ .

$5 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) ((1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x)) d x$

Étape 4

Laissez $u = \tan (x)$ . Alors $d u = \sec^{2} (x) d x$ , donc $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = \tan (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 4.1.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Étape 4.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \tan (x)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Étape 4.3

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 4.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \tan (x)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{3})$

Étape 4.5

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{3})$ est $\sqrt{3}$ .

$u_{upper} = \sqrt{3}$

Étape 4.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \sqrt{3}$

Étape 4.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$5 \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} (1 + u^{2}) d u$

Étape 5

Multipliez $u^{5} (1 + u^{2})$ .

$5 \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} \cdot 1 + u^{5} u^{2} d u$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez $u^{5}$ par $1$ .

$5 \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{5} u^{2} d u$

Étape 6.2

Multipliez $u^{5}$ par $u^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{5 + 2} d u$

Étape 6.2.2

Additionnez $5$ et $2$ .

$5 \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{7} d u$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$5 (\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} d u + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{5}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$5 (\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u)$

Étape 9

Associez $\frac{1}{6}$ et $u^{6}$ .

$5 (\frac{u^{6}}{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u)$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{7}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$5 (\frac{u^{6}}{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}})$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Associez $\frac{u^{6}}{6}]_{0}^{\sqrt{3}}$ et $\frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$ .

$5 (\frac{u^{6}}{6} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}})$

Étape 11.2

Associez $\frac{1}{8}$ et $u^{8}$ .

$5 (\frac{u^{6}}{6} + \frac{u^{8}}{8}]_{0}^{\sqrt{3}})$

Étape 12

Remplacez et simplifiez.

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Étape 12.1

Évaluez $\frac{u^{6}}{6} + \frac{u^{8}}{8}$ sur $\sqrt{3}$ et sur $0$ .

$5 ((\frac{{\sqrt{3}}^{6}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8}) - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Étape 12.2

Simplifiez

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Étape 12.2.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{6}$ comme $3^{3}$ .

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Étape 12.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{6}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Étape 12.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 6}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Étape 12.2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $6$ .

$5 (\frac{3^{\frac{6}{2}}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Étape 12.2.1.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 12.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 3}{2}}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Étape 12.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Étape 12.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 (\frac{3^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Étape 12.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$5 (\frac{3^{\frac{3}{1}}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Étape 12.2.1.4.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$5 (\frac{3^{3}}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Étape 12.2.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$5 (\frac{27}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Étape 12.2.3

Annulez le facteur commun à $27$ et $6$ .

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Étape 12.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$5 (\frac{3 (9)}{6} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Étape 12.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$5 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Étape 12.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Étape 12.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$5 (\frac{9}{2} + \frac{{\sqrt{3}}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Étape 12.2.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{8}$ comme $3^{4}$ .

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Étape 12.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{9}{2} + \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Étape 12.2.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{9}{2} + \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 8}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Étape 12.2.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $8$ .

$5 (\frac{9}{2} + \frac{3^{\frac{8}{2}}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Étape 12.2.4.4

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 12.2.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$5 (\frac{9}{2} + \frac{3^{\frac{2 \cdot 4}{2}}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Étape 12.2.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$5 (\frac{9}{2} + \frac{3^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Étape 12.2.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 (\frac{9}{2} + \frac{3^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Étape 12.2.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$5 (\frac{9}{2} + \frac{3^{\frac{4}{1}}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Étape 12.2.4.4.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$5 (\frac{9}{2} + \frac{3^{4}}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Étape 12.2.5

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$5 (\frac{9}{2} + \frac{81}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Étape 12.2.6

Pour écrire $\frac{9}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{81}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Étape 12.2.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 12.2.7.1

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{9 \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{81}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Étape 12.2.7.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$5 (\frac{9 \cdot 4}{8} + \frac{81}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Étape 12.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 (\frac{9 \cdot 4 + 81}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Étape 12.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.9.1

Multipliez $9$ par $4$ .

$5 (\frac{36 + 81}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Étape 12.2.9.2

Additionnez $36$ et $81$ .

$5 (\frac{117}{8} - (\frac{0^{6}}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Étape 12.2.10

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$5 (\frac{117}{8} - (\frac{0}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Étape 12.2.11

Annulez le facteur commun à $0$ et $6$ .

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Étape 12.2.11.1

Factorisez $6$ à partir de $0$ .

$5 (\frac{117}{8} - (\frac{6 (0)}{6} + \frac{0^{8}}{8}))$

Étape 12.2.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.11.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$5 (\frac{117}{8} - (\frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1} + \frac{0^{8}}{8}))$

Étape 12.2.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 (\frac{117}{8} - (\frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1} + \frac{0^{8}}{8}))$

Étape 12.2.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$5 (\frac{117}{8} - (\frac{0}{1} + \frac{0^{8}}{8}))$

Étape 12.2.11.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$5 (\frac{117}{8} - (0 + \frac{0^{8}}{8}))$

Étape 12.2.12

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$5 (\frac{117}{8} - (0 + \frac{0}{8}))$

Étape 12.2.13

Annulez le facteur commun à $0$ et $8$ .

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Étape 12.2.13.1

Factorisez $8$ à partir de $0$ .

$5 (\frac{117}{8} - (0 + \frac{8 (0)}{8}))$

Étape 12.2.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.13.2.1

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$5 (\frac{117}{8} - (0 + \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}))$

Étape 12.2.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 (\frac{117}{8} - (0 + \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}))$

Étape 12.2.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$5 (\frac{117}{8} - (0 + \frac{0}{1}))$

Étape 12.2.13.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$5 (\frac{117}{8} - (0 + 0))$

Étape 12.2.14

Additionnez $0$ et $0$ .

$5 (\frac{117}{8} - 0)$

Étape 12.2.15

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$5 (\frac{117}{8} + 0)$

Étape 12.2.16

Additionnez $\frac{117}{8}$ et $0$ .

$5 (\frac{117}{8})$

Étape 12.2.17

Associez $5$ et $\frac{117}{8}$ .

$\frac{5 \cdot 117}{8}$

Étape 12.2.18

Multipliez $5$ par $117$ .

$\frac{585}{8}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{585}{8}$

Forme décimale :

$73.125$

Forme de nombre mixte :

$73 \frac{1}{8}$