Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} e^{\sin (x)} \cos (x) d x$

Étape 1

Laissez $u = \sin (x)$ . Alors $d u = \cos (x) d x$ , donc $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \sin (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Étape 1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{3})$

Étape 1.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} e^{u} d u$

Étape 2

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{u}]_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Étape 3

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.1

Évaluez $e^{u}$ sur $\frac{\sqrt{3}}{2}$ et sur $0$ .

$(e^{\frac{\sqrt{3}}{2}}) - e^{0}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$e^{\frac{\sqrt{3}}{2}} - 1 \cdot 1$

Étape 3.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{\frac{\sqrt{3}}{2}} - 1$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$e^{\frac{\sqrt{3}}{2}} - 1$

Forme décimale :

$1.37744267 \dots$