Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) d x$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) d x$

Étape 2

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (x)$ en $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Étape 3

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\sin^{2} (x)$ en $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} \cdot \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ par $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}{2 \cdot 2} d x$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}{4} d x$

Étape 5

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x)$

Étape 6

Associez $\frac{1}{4}$ et $3$ .

$\frac{3}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

Étape 7

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 7.1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 7.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 7.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 7.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{1} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 7.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 7.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{1} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Étape 7.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.5.1

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Étape 7.5.2

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = π$

Étape 7.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Étape 7.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ , $d u_{1}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{3}{4} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{4} (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1})$

Étape 9

Simplifiez en multipliant.

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Étape 9.1

Simplifiez

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Étape 9.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 4} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 9.1.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 9.2

Développez $(1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1}))$ .

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Étape 9.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 (1 + \cos (u_{1})) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 9.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 9.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cdot 1 - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 9.2.4

Déplacez $\cos (u_{1})$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 9.2.5

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 9.2.6

Multipliez $\cos (u_{1})$ par $1$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 9.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 9.2.8

Factorisez le signe négatif.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 9.2.9

Élevez $\cos (u_{1})$ à la puissance $1$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 9.2.10

Élevez $\cos (u_{1})$ à la puissance $1$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})) d u_{1}$

Étape 9.2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - {\cos (u_{1})}^{1 + 1} d u_{1}$

Étape 9.2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 9.2.13

Soustrayez $\cos (u_{1})$ de $\cos (u_{1})$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + 0 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 9.2.14

Soustrayez $\cos^{2} (u_{1})$ de $0$ .

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 10

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{3}{8} (\int_{0}^{π} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Étape 11

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Étape 12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Étape 13

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (u_{1})$ en $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1})$

Étape 14

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Étape 15

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (\int_{0}^{π} d u_{1} + \int_{0}^{π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Étape 16

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Étape 17

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Alors $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 17.1

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 17.1.1

Différenciez $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Étape 17.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $2 u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 17.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 17.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 17.2

Remplacez la limite inférieure pour $u_{1}$ dans $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 17.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 17.4

Remplacez la limite supérieure pour $u_{1}$ dans $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 π$

Étape 17.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Étape 17.6

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{2 π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}))$

Étape 18

Associez $\cos (u_{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}))$

Étape 19

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Étape 20

L’intégrale de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sin (u_{2})$ .

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{2 π}))$

Étape 21

Remplacez et simplifiez.

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Étape 21.1

Évaluez $u_{1}$ sur $π$ et sur $0$ .

$\frac{3}{8} ((π) + 0 - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{2 π}))$

Étape 21.2

Évaluez $u_{1}$ sur $π$ et sur $0$ .

$\frac{3}{8} (π + 0 - \frac{1}{2} (π + 0 + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{2 π}))$

Étape 21.3

Évaluez $\sin (u_{2})$ sur $2 π$ et sur $0$ .

$\frac{3}{8} (π + 0 - \frac{1}{2} (π + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))))$

Étape 21.4

Simplifiez

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Étape 21.4.1

Additionnez $π$ et $0$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))))$

Étape 21.4.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0))))$

Étape 22

Simplifiez

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Étape 22.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)))$

Étape 22.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0)))$

Étape 22.3

Additionnez $\sin (2 π)$ et $0$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} \sin (2 π)))$

Étape 22.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (2 π)$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{\sin (2 π)}{2}))$

Étape 23

Simplifiez

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Étape 23.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 23.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 23.1.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{\sin (0)}{2}))$

Étape 23.1.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{0}{2}))$

Étape 23.1.2

Divisez $0$ par $2$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + 0))$

Étape 23.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} π)$

Étape 23.3

Associez $π$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{8} (π - \frac{π}{2})$

Étape 23.4

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{8} (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 23.5

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{8} (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 23.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3}{8} \cdot \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 23.7

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$\frac{3}{8} \cdot \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Étape 23.8

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$\frac{3}{8} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 23.9

Multipliez $\frac{3}{8} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Étape 23.9.1

Multipliez $\frac{3}{8}$ par $\frac{π}{2}$ .

$\frac{3 π}{8 \cdot 2}$

Étape 23.9.2

Multipliez $8$ par $2$ .

$\frac{3 π}{16}$

Étape 24

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{3 π}{16}$

Forme décimale :

$0.58904862 \dots$