Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{\sin (7 π x)} \cos (7 π x) d x$

Étape 1

Laissez $u_{2} = \sin (7 π x)$ . Alors $d u_{2} = 7 π \cos (7 π x) d x$ , donc $\frac{1}{7 π} d u_{2} = \cos (7 π x) d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{2} = \sin (7 π x)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\sin (7 π x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (7 π x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 7 π x$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $7 π x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [7 π x]$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [7 π x]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $7 π x$ .

$\cos (7 π x) \frac{d}{d x} [7 π x]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Comme $7 π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 π x$ par rapport à $x$ est $7 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (7 π x) (7 π \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (7 π x) (7 π \cdot 1)$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $7$ par $1$ .

$\cos (7 π x) (7 π)$

Étape 1.1.3.3.2

Déplacez $7$ à gauche de $\cos (7 π x)$ .

$7 \cdot \cos (7 π x) π$

Étape 1.1.3.3.3

Réorganisez les facteurs de $7 \cos (7 π x) π$ .

$7 π \cos (7 π x)$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{2} = \sin (7 π x)$ .

$u_{lower} = \sin (7 π \cdot 0)$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Multipliez $7 π \cdot 0$ .

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $0$ par $7$ .

$u_{lower} = \sin (0 π)$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Étape 1.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{2} = \sin (7 π x)$ .

$u_{upper} = \sin (7 π \frac{π}{2})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $7 π \frac{π}{2}$ .

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Étape 1.5.1.1

Associez $\frac{π}{2}$ et $7$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π \cdot 7}{2} π)$

Étape 1.5.1.2

Associez $\frac{π \cdot 7}{2}$ et $π$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π \cdot 7 π}{2})$

Étape 1.5.1.3

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{7 (π^{1} π)}{2})$

Étape 1.5.1.4

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{7 (π^{1} π^{1})}{2})$

Étape 1.5.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$u_{upper} = \sin (\frac{7 π^{1 + 1}}{2})$

Étape 1.5.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{7 π^{2}}{2})$

Étape 1.5.2

Évaluez $\sin (\frac{7 π^{2}}{2})$ .

$u_{upper} = 0.01390333$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 0.01390333$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{0.01390333} e^{u_{2}} \frac{1}{7 π} d u_{2}$

Étape 2

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{7 π}$ .

$\int_{0}^{0.01390333} \frac{e^{u_{2}}}{7 π} d u_{2}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{7 π}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{7 π}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{7 π} \int_{0}^{0.01390333} e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 4

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{7 π} e^{u_{2}}]_{0}^{0.01390333}$

Étape 5

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.1

Évaluez $e^{u_{2}}$ sur $0.01390333$ et sur $0$ .

$\frac{1}{7 π} ((e^{0.01390333}) - e^{0})$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{7 π} (e^{0.01390333} - 1 \cdot 1)$

Étape 5.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{7 π} (e^{0.01390333} - 1)$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{7 π} \cdot (e^{0.01390333} - 1)$

Forme décimale :

$0.00063663 \dots$