Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{2 \sin (2 t)}{6 - \cos (2 t)} d t$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (2 t)}{6 - \cos (2 t)} d t$

Étape 2

Laissez $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ . Alors $d u_{2} = 2 \sin (2 t) d t$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 t) d t$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $6 - \cos (2 t)$ .

$\frac{d}{d t} [6 - \cos (2 t)]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 - \cos (2 t)$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [6] + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$ .

$\frac{d}{d t} [6] + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$

Étape 2.1.2.2

Comme $6$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $6$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \cos (2 t)$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$ .

$0 - \frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \cos (t)$ et $g (t) = 2 t$ .

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Étape 2.1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 t$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t])$

Étape 2.1.3.2.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$0 - (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 t])$

Étape 2.1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 t$ .

$0 - (- \sin (2 t) \frac{d}{d t} [2 t])$

Étape 2.1.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - (- \sin (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t]))$

Étape 2.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - (- \sin (2 t) (2 \cdot 1))$

Étape 2.1.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$0 - (- \sin (2 t) \cdot 2)$

Étape 2.1.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - (- 2 \sin (2 t))$

Étape 2.1.3.7

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$0 + 2 \sin (2 t)$

Étape 2.1.4

Additionnez $0$ et $2 \sin (2 t)$ .

$2 \sin (2 t)$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ .

$u_{lower} = 6 - \cos (2 \cdot 0)$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 6 - \cos (0)$

Étape 2.3.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$u_{lower} = 6 - 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$u_{lower} = 6 - 1$

Étape 2.3.2

Soustrayez $1$ de $6$ .

$u_{lower} = 5$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ .

$u_{upper} = 6 - \cos (2 \frac{π}{2})$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 6 - \cos (2 \frac{π}{2})$

Étape 2.5.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = 6 - \cos (π)$

Étape 2.5.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$u_{upper} = 6 - - \cos (0)$

Étape 2.5.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$u_{upper} = 6 - (- 1 \cdot 1)$

Étape 2.5.1.4

Multipliez $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 2.5.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$u_{upper} = 6 - - 1$

Étape 2.5.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$u_{upper} = 6 + 1$

Étape 2.5.2

Additionnez $6$ et $1$ .

$u_{upper} = 7$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 7$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$2 \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 3

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Étape 3.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{2}$ .

$2 \int_{5}^{7} \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{2} \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 5

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 5.3

Multipliez $\int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ par $1$ .

$\int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |)]_{5}^{7}$

Étape 7

Évaluez $\ln (| u_{2} |)$ sur $7$ et sur $5$ .

$\ln (| 7 |) - \ln (| 5 |)$

Étape 8

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 7 |}{| 5 |})$

Étape 9

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Étape 9.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $7$ est $7$ .

$\ln (\frac{7}{| 5 |})$

Étape 9.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $5$ est $5$ .

$\ln (\frac{7}{5})$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\ln (\frac{7}{5})$

Forme décimale :

$0.33647223 \dots$