Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} 18 \tan (3 x) d x$

Étape 1

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , placez $18$ en dehors de l’intégrale.

$18 \int_{0}^{\frac{π}{12}} \tan (3 x) d x$

Étape 2

Laissez $u = 3 x$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 2.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Étape 2.3

Multipliez $3$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{12}$

Étape 2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.5.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 (4)}$

Étape 2.5.2

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 \cdot 4}$

Étape 2.5.3

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$18 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) \frac{1}{3} d u$

Étape 3

Associez $\tan (u)$ et $\frac{1}{3}$ .

$18 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\tan (u)}{3} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$18 (\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $18$ .

$\frac{18}{3} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $18$ et $3$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $18$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 6}{3 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{1} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Étape 5.2.2.4

Divisez $6$ par $1$ .

$6 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Étape 6

L’intégrale de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\ln (| \sec (u) |)$ .

$6 (\ln (| \sec (u) |)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Étape 7

Évaluez $\ln (| \sec (u) |)$ sur $\frac{π}{4}$ et sur $0$ .

$6 (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{4})$ est $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$6 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| \sec (0) |))$

Étape 8.2

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$6 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| 1 |))$

Étape 8.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} |}{| 1 |})$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} |}{| 1 |})$

Étape 9.1.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1.2.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} |}{| 1 |})$

Étape 9.1.2.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} |}{| 1 |})$

Étape 9.1.2.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} |}{| 1 |})$

Étape 9.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} |}{| 1 |})$

Étape 9.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} |}{| 1 |})$

Étape 9.1.2.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 9.1.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} |}{| 1 |})$

Étape 9.1.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |}{| 1 |})$

Étape 9.1.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| 1 |})$

Étape 9.1.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| 1 |})$

Étape 9.1.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} |}{| 1 |})$

Étape 9.1.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| 1 |})$

Étape 9.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| 1 |})$

Étape 9.1.3.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$6 \ln (\frac{| \sqrt{2} |}{| 1 |})$

Étape 9.1.4

$\sqrt{2}$ est d’environ $1.41421356$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$6 \ln (\frac{\sqrt{2}}{| 1 |})$

Étape 9.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$6 \ln (\frac{\sqrt{2}}{1})$

Étape 9.3

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$6 \ln (\sqrt{2})$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$6 \ln (\sqrt{2})$

Forme décimale :

$2.07944154 \dots$