Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} \sin^{3} (6 x) d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = 6 x$ . Alors $d u_{1} = 6 d x$ , donc $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = 6 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 1.1.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$6$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{1} = 6 x$ .

$u_{lower} = 6 \cdot 0$

Étape 1.3

Multipliez $6$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{1} = 6 x$ .

$u_{upper} = 6 \frac{π}{12}$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 1.5.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$u_{upper} = 6 \frac{π}{6 (2)}$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 6 \frac{π}{6 \cdot 2}$

Étape 1.5.3

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ , $d u_{1}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (u_{1}) \frac{1}{6} d u_{1}$

Étape 2

Associez $\sin^{3} (u_{1})$ et $\frac{1}{6}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{3} (u_{1})}{6} d u_{1}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{6} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 4

Factorisez $\sin^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{6} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Étape 5

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\sin^{2} (u_{1})$ comme $1 - \cos^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{6} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos^{2} (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Étape 6

Laissez $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Alors $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , donc $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 6.1

Laissez $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Étape 6.1.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Étape 6.2

Remplacez la limite inférieure pour $u_{1}$ dans $u_{2} = \cos (u_{1})$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Étape 6.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 6.4

Remplacez la limite supérieure pour $u_{1}$ dans $u_{2} = \cos (u_{1})$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Étape 6.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 6.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Étape 6.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{1}{6} \int_{1}^{0} - 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{6} (\int_{1}^{0} - 1 d u_{2} + \int_{1}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{6} (- u_{2}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{6} (- u_{2}]_{1}^{0} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{1}^{0})$

Étape 10

Associez $- u_{2}]_{1}^{0}$ et $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{1}^{0}$ .

$\frac{1}{6} - u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{1}^{0}$

Étape 11

Remplacez et simplifiez.

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Étape 11.1

Évaluez $- u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ sur $0$ et sur $1$ .

$\frac{1}{6} ((- 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Étape 11.2

Simplifiez

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Étape 11.2.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{6} (0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Étape 11.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{6} (0 + \frac{1}{3} \cdot 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Étape 11.2.3

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $0$ .

$\frac{1}{6} (0 + 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Étape 11.2.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Étape 11.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Étape 11.2.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1))$

Étape 11.2.7

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 + \frac{1}{3}))$

Étape 11.2.8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}))$

Étape 11.2.9

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{6} (0 - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}))$

Étape 11.2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{6} (0 - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3})$

Étape 11.2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.11.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{6} (0 - \frac{- 3 + 1}{3})$

Étape 11.2.11.2

Additionnez $- 3$ et $1$ .

$\frac{1}{6} (0 - \frac{- 2}{3})$

Étape 11.2.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{6} (0 - - \frac{2}{3})$

Étape 11.2.13

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{6} (0 + 1 (\frac{2}{3}))$

Étape 11.2.14

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{6} (0 + \frac{2}{3})$

Étape 11.2.15

Additionnez $0$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3}$

Étape 11.2.16

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{6 \cdot 3}$

Étape 11.2.17

Multipliez $6$ par $3$ .

$\frac{2}{18}$

Étape 11.2.18

Annulez le facteur commun à $2$ et $18$ .

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Étape 11.2.18.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{18}$

Étape 11.2.18.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.18.2.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 9}$

Étape 11.2.18.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 9}$

Étape 11.2.18.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{9}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{9}$

Forme décimale :

$0.\overline{1}$