Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Étape 1

Laissez $x = \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ est positif.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Étape 2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $\cos (t)$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Étape 2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin^{2} (t) d t$

Étape 3

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\sin^{2} (t)$ en $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} 1 - \cos (2 t) d t$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{4}} d t + \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \cos (2 t) d t)$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \cos (2 t) d t)$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 t) d t)$

Étape 8

Laissez $u = 2 t$ . Alors $d u = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.1

Laissez $u = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 8.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 8.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 8.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 8.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 8.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Étape 8.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Étape 8.5.2

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 8.5.3

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Étape 8.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Étape 8.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 9

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Étape 10

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u))$

Étape 11

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Étape 12

Remplacez et simplifiez.

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Étape 12.1

Évaluez $t$ sur $\frac{π}{4}$ et sur $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{4}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Étape 12.2

Évaluez $\sin (u)$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{4}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)))$

Étape 12.3

Additionnez $\frac{π}{4}$ et $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)))$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (1 - \sin (0)))$

Étape 13.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (1 - 0))$

Étape 13.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (1 + 0))$

Étape 13.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} \cdot 1)$

Étape 13.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2})$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Étape 14.2

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{4}$ .

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Étape 14.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Étape 14.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{π}{8} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Étape 14.3

Multipliez $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Étape 14.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{8} - \frac{1}{2 \cdot 2}$

Étape 14.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{π}{8} - \frac{1}{4}$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{π}{8} - \frac{1}{4}$

Forme décimale :

$0.14269908 \dots$

Étape 16