Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{3 \sqrt{3}}{2}} \frac{x^{3}}{\sqrt{4 x^{2} + 9}} d x$

Étape 1

Laissez $x = \frac{3}{2} \tan (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ est positif.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2} + 9}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $\tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 {(\frac{3 \tan (t)}{2})}^{2} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 \tan (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{{(3 \tan (t))}^{2}}{2^{2}} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.2.2

Appliquez la règle de produit à $3 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{3^{2} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{2^{2}} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.1.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 \tan^{2} (t) + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.2

Factorisez $9$ à partir de $9 \tan^{2} (t) + 9$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9 \tan^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t)) + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t)) + 9 (1)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $9$ à partir de $9 (\tan^{2} (t)) + 9 (1)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t) + 1)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 \sec^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.4

Réécrivez $9 \sec^{2} (t)$ comme ${(3 \sec (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.2

Associez les fractions.

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Étape 2.2.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $\tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3 \tan (t)}{2})}^{3}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 \tan (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{{(3 \tan (t))}^{3}}{2^{3}}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.2.2.2

Appliquez la règle de produit à $3 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{3^{3} \tan^{3} (t)}{2^{3}}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.2.3.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{27 \tan^{3} (t)}{2^{3}}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.2.2.3.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{27 \tan^{3} (t)}{8}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.2.2.3.3

Réécrivez $\frac{\frac{27 \tan^{3} (t)}{8}}{3 \sec (t)}$ comme un produit.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t)}{8} \cdot \frac{1}{3 \sec (t)} \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.2.2.3.4

Multipliez $\frac{27 \tan^{3} (t)}{8}$ par $\frac{1}{3 \sec (t)}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t)}{8 (3 \sec (t))} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.2.2.3.5

Multipliez $3$ par $8$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t)}{24 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.2.2.3.6

Annulez le facteur commun à $27$ et $24$ .

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Étape 2.2.2.3.6.1

Factorisez $3$ à partir de $27 \tan^{3} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (9 \tan^{3} (t))}{24 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.2.2.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.3.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $24 \sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (9 \tan^{3} (t))}{3 (8 \sec (t))} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.2.2.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (9 \tan^{3} (t))}{3 (8 \sec (t))} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.2.2.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{9 \tan^{3} (t)}{8 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.2.2.3.7

Multipliez $\frac{9 \tan^{3} (t)}{8 \sec (t)}$ par $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{9 \tan^{3} (t) (3 \sec^{2} (t))}{8 \sec (t) \cdot 2} d t$

Étape 2.2.2.3.8

Multipliez $3$ par $9$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t) \sec^{2} (t)}{8 \sec (t) \cdot 2} d t$

Étape 2.2.2.3.9

Multipliez $2$ par $8$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t) \sec^{2} (t)}{16 \sec (t)} d t$

Étape 2.2.2.3.10

Annulez le facteur commun à $\sec^{2} (t)$ et $\sec (t)$ .

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Étape 2.2.2.3.10.1

Factorisez $\sec (t)$ à partir de $27 \tan^{3} (t) \sec^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (27 \tan^{3} (t) \sec (t))}{16 \sec (t)} d t$

Étape 2.2.2.3.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.3.10.2.1

Factorisez $\sec (t)$ à partir de $16 \sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (27 \tan^{3} (t) \sec (t))}{\sec (t) \cdot 16} d t$

Étape 2.2.2.3.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (27 \tan^{3} (t) \sec (t))}{\sec (t) \cdot 16} d t$

Étape 2.2.2.3.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t) \sec (t)}{16} d t$

Étape 3

Comme $\frac{27}{16}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{27}{16}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Étape 4

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

Étape 5

Factorisez $\tan^{2} (t)$ .

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Étape 6

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (t)$ comme $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Étape 7

Simplifiez

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

Étape 8

Laissez $u = \sec (t)$ . Alors $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , donc $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.1

Laissez $u = \sec (t)$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Étape 8.1.2

La dérivée de $\sec (t)$ par rapport à $t$ est $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Étape 8.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u = \sec (t)$ .

$u_{lower} = \sec (0)$

Étape 8.3

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 8.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u = \sec (t)$ .

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{3})$

Étape 8.5

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{3})$ est $2$ .

$u_{upper} = 2$

Étape 8.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Étape 8.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{27}{16} \int_{1}^{2} - 1 + u^{2} d u$

Étape 9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{27}{16} (\int_{1}^{2} - 1 d u + \int_{1}^{2} u^{2} d u)$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{27}{16} (- u]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} u^{2} d u)$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{27}{16} (- u]_{1}^{2} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2})$

Étape 12

Associez $- u]_{1}^{2}$ et $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2}$ .

$\frac{27}{16} - u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2}$

Étape 13

Remplacez et simplifiez.

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Étape 13.1

Évaluez $- u + \frac{1}{3} u^{3}$ sur $2$ et sur $1$ .

$\frac{27}{16} ((- 1 \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Étape 13.2

Simplifiez

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Étape 13.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{27}{16} (- 2 + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Étape 13.2.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{27}{16} (- 2 + \frac{1}{3} \cdot 8 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Étape 13.2.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $8$ .

$\frac{27}{16} (- 2 + \frac{8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Étape 13.2.4

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{16} (- 2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Étape 13.2.5

Associez $- 2$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{16} (\frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Étape 13.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{27}{16} (\frac{- 2 \cdot 3 + 8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Étape 13.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.2.7.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{27}{16} (\frac{- 6 + 8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Étape 13.2.7.2

Additionnez $- 6$ et $8$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Étape 13.2.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Étape 13.2.9

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1))$

Étape 13.2.10

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 + \frac{1}{3}))$

Étape 13.2.11

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}))$

Étape 13.2.12

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}))$

Étape 13.2.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3})$

Étape 13.2.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.2.14.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - \frac{- 3 + 1}{3})$

Étape 13.2.14.2

Additionnez $- 3$ et $1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - \frac{- 2}{3})$

Étape 13.2.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - - \frac{2}{3})$

Étape 13.2.16

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} + 1 (\frac{2}{3}))$

Étape 13.2.17

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} + \frac{2}{3})$

Étape 13.2.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{27}{16} \cdot \frac{2 + 2}{3}$

Étape 13.2.19

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{27}{16} \cdot \frac{4}{3}$

Étape 13.2.20

Multipliez $\frac{27}{16}$ par $\frac{4}{3}$ .

$\frac{27 \cdot 4}{16 \cdot 3}$

Étape 13.2.21

Multipliez $27$ par $4$ .

$\frac{108}{16 \cdot 3}$

Étape 13.2.22

Multipliez $16$ par $3$ .

$\frac{108}{48}$

Étape 13.2.23

Annulez le facteur commun à $108$ et $48$ .

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Étape 13.2.23.1

Factorisez $12$ à partir de $108$ .

$\frac{12 (9)}{48}$

Étape 13.2.23.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.2.23.2.1

Factorisez $12$ à partir de $48$ .

$\frac{12 \cdot 9}{12 \cdot 4}$

Étape 13.2.23.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 \cdot 9}{12 \cdot 4}$

Étape 13.2.23.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{4}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{9}{4}$

Forme décimale :

$2.25$

Forme de nombre mixte :

$2 \frac{1}{4}$

Étape 15