Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} x \cos (π x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \cos (π x)$ .

$x (\frac{1}{π} \sin (π x))]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{π} \sin (π x) d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{π}$ et $\sin (π x)$ .

$x \frac{\sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{π} \sin (π x) d x$

Étape 2.2

Associez $x$ et $\frac{\sin (π x)}{π}$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{π} \sin (π x) d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{π}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{π}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \sin (π x) d x)$

Étape 4

Laissez $u = π x$ . Alors $d u = π d x$ , donc $\frac{1}{π} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = π x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Étape 4.1.2

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π x$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 4.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = π x$ .

$u_{lower} = π \cdot 0$

Étape 4.3

Multipliez $π$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 4.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = π x$ .

$u_{upper} = π \frac{1}{2}$

Étape 4.5

Associez $π$ et $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Étape 4.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Étape 4.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) \frac{1}{π} d u$

Étape 5

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{π}$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (u)}{π} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{π}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{π}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π} (\frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{π}$ par $\frac{1}{π}$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Étape 7.2

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{1} π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Étape 7.3

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{1} π^{1}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Étape 7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{1 + 1}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Étape 7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{2}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Étape 8

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{2}} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $\frac{x \sin (π x)}{π}$ sur $\frac{1}{2}$ et sur $0$ .

$(\frac{\frac{1}{2} \sin (π \frac{1}{2})}{π}) - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Étape 9.2

Évaluez $- \cos (u)$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $0$ .

$(\frac{\frac{1}{2} \sin (π \frac{1}{2})}{π}) - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Associez $π$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} \sin (\frac{π}{2})}{π} - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Étape 9.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (\frac{π}{2})$ .

$\frac{\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2}}{π} - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Étape 9.3.3

Réécrivez $\frac{\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2}}{π}$ comme un produit.

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2} \cdot \frac{1}{π} - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Étape 9.3.4

Multipliez $\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2}$ par $\frac{1}{π}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Étape 9.3.5

Multipliez $π$ par $0$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} - \frac{0 \sin (0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Étape 9.3.6

Multipliez $0$ par $\sin (0)$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} - \frac{0}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Étape 9.3.7

Pour écrire $- \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 π}{2 π}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} - \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot \frac{2 π}{2 π} - \frac{0}{π}$

Étape 9.3.8

Associez $- \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ et $\frac{2 π}{2 π}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} + \frac{- \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) (2 π)}{2 π} - \frac{0}{π}$

Étape 9.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) - \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) (2 π)}{2 π} - \frac{0}{π}$

Étape 9.3.10

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) - 2 \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) π}{2 π} - \frac{0}{π}$

Étape 9.3.11

Associez $- 2$ et $\frac{1}{π^{2}}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 2}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) π}{2 π} - \frac{0}{π}$

Étape 9.3.12

Associez $π$ et $\frac{- 2}{π^{2}}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{π \cdot - 2}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Étape 9.3.13

Déplacez $- 2$ à gauche de $π$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 2 \cdot π}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Étape 9.3.14

Annulez le facteur commun à $π$ et $π^{2}$ .

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Étape 9.3.14.1

Factorisez $π$ à partir de $- 2 π$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{π \cdot - 2}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Étape 9.3.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.14.2.1

Factorisez $π$ à partir de $π^{2}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{π \cdot - 2}{π π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Étape 9.3.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{π \cdot - 2}{π π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Étape 9.3.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 2}{π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Étape 9.3.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) - \frac{2}{π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Étape 10.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} (- 0 + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Étape 10.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} (- 0 + 1)}{2 π} - \frac{0}{π}$

Étape 10.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} (0 + 1)}{2 π} - \frac{0}{π}$

Étape 10.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} \cdot 1}{2 π} - \frac{0}{π}$

Étape 10.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π} - \frac{0}{π}$

Étape 10.7

Pour écrire $- \frac{0}{π}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π} - \frac{0}{π} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 10.8

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 π$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 10.8.1

Multipliez $\frac{0}{π}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π} - \frac{0 \cdot 2}{π \cdot 2}$

Étape 10.8.2

Réorganisez les facteurs de $π \cdot 2$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π} - \frac{0 \cdot 2}{2 π}$

Étape 10.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - \frac{2}{π} + 0 \cdot 2}{2 π}$

Étape 10.10

Multipliez $0$ par $2$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} + 0}{2 π}$

Étape 10.11

Additionnez $1 - \frac{2}{π}$ et $0$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π}$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{π}{π} - \frac{2}{π}}{2 π}$

Étape 11.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{π - 2}{π}}{2 π}$

Étape 11.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{π - 2}{π} \cdot \frac{1}{2 π}$

Étape 11.3

Multipliez $\frac{π - 2}{π} \cdot \frac{1}{2 π}$ .

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Étape 11.3.1

Multipliez $\frac{π - 2}{π}$ par $\frac{1}{2 π}$ .

$\frac{π - 2}{π (2 π)}$

Étape 11.3.2

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$\frac{π - 2}{2 (π^{1} π)}$

Étape 11.3.3

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$\frac{π - 2}{2 (π^{1} π^{1})}$

Étape 11.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{π - 2}{2 π^{1 + 1}}$

Étape 11.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{π - 2}{2 π^{2}}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{π - 2}{2 π^{2}}$

Forme décimale :

$0.05783375 \dots$