Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{13 π}{6}} 8 \sin (x) + 4 \cos (x) d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{\frac{13 π}{6}} 8 \sin (x) d x + \int_{0}^{\frac{13 π}{6}} 4 \cos (x) d x$

Étape 2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$8 \int_{0}^{\frac{13 π}{6}} \sin (x) d x + \int_{0}^{\frac{13 π}{6}} 4 \cos (x) d x$

Étape 3

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$8 (- \cos (x)]_{0}^{\frac{13 π}{6}}) + \int_{0}^{\frac{13 π}{6}} 4 \cos (x) d x$

Étape 4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$8 (- \cos (x)]_{0}^{\frac{13 π}{6}}) + 4 \int_{0}^{\frac{13 π}{6}} \cos (x) d x$

Étape 5

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$8 (- \cos (x)]_{0}^{\frac{13 π}{6}}) + 4 (\sin (x)]_{0}^{\frac{13 π}{6}})$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1.1

Évaluez $- \cos (x)$ sur $\frac{13 π}{6}$ et sur $0$ .

$8 ((- \cos (\frac{13 π}{6})) + \cos (0)) + 4 (\sin (x)]_{0}^{\frac{13 π}{6}})$

Étape 6.1.2

Évaluez $\sin (x)$ sur $\frac{13 π}{6}$ et sur $0$ .

$8 (- \cos (\frac{13 π}{6}) + \cos (0)) + 4 (\sin (\frac{13 π}{6}) - \sin (0))$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$8 (- \cos (\frac{13 π}{6}) + 1) + 4 (\sin (\frac{13 π}{6}) - \sin (0))$

Étape 6.2.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$8 (- \cos (\frac{13 π}{6}) + 1) + 4 (\sin (\frac{13 π}{6}) - 0)$

Étape 6.2.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$8 (- \cos (\frac{13 π}{6}) + 1) + 4 (\sin (\frac{13 π}{6}) + 0)$

Étape 6.2.4

Additionnez $\sin (\frac{13 π}{6})$ et $0$ .

$8 (- \cos (\frac{13 π}{6}) + 1) + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$8 (- \cos (\frac{π}{6}) + 1) + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

Étape 6.3.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + 1) + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

Étape 6.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$8 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 8 \cdot 1 + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

Étape 6.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$8 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 8 \cdot 1 + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

Étape 6.3.4.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$2 (4) \frac{- \sqrt{3}}{2} + 8 \cdot 1 + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

Étape 6.3.4.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 4 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 8 \cdot 1 + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

Étape 6.3.4.4

Réécrivez l’expression.

$4 (- \sqrt{3}) + 8 \cdot 1 + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

Étape 6.3.5

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 \sqrt{3} + 8 \cdot 1 + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

Étape 6.3.6

Multipliez $8$ par $1$ .

$- 4 \sqrt{3} + 8 + 4 \sin (\frac{13 π}{6})$

Étape 6.3.7

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- 4 \sqrt{3} + 8 + 4 \sin (\frac{π}{6})$

Étape 6.3.8

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$- 4 \sqrt{3} + 8 + 4 (\frac{1}{2})$

Étape 6.3.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.9.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- 4 \sqrt{3} + 8 + 2 (2) \frac{1}{2}$

Étape 6.3.9.2

Annulez le facteur commun.

$- 4 \sqrt{3} + 8 + 2 \cdot 2 \frac{1}{2}$

Étape 6.3.9.3

Réécrivez l’expression.

$- 4 \sqrt{3} + 8 + 2$

Étape 6.3.10

Additionnez $8$ et $2$ .

$- 4 \sqrt{3} + 10$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- 4 \sqrt{3} + 10$

Forme décimale :

$3.07179676 \dots$