Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\cos (4 x)}{4} + \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\cos (4 x)}{4} d x + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Étape 2

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \cos (4 x) d x + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Étape 3

Laissez $u_{1} = 4 x$ . Alors $d u_{1} = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 3.1

Laissez $u_{1} = 4 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 3.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 3.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 3.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{1} = 4 x$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

Étape 3.3

Multipliez $4$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 3.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{1} = 4 x$ .

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{16}$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{4 (4)}$

Étape 3.5.2

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{4 \cdot 4}$

Étape 3.5.3

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Étape 3.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Étape 3.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ , $d u_{1}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \cos (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Étape 4

Associez $\cos (u_{1})$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \frac{\cos (u_{1})}{4} d u_{1} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Étape 5

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Étape 6.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{1}{16} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \cos (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Étape 7

L’intégrale de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \frac{\sin (4 x)}{4} d x$

Étape 8

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{16}} \sin (4 x) d x$

Étape 9

Laissez $u_{2} = 4 x$ . Alors $d u_{2} = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 9.1

Laissez $u_{2} = 4 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 9.1.1

Différenciez $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 9.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 9.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 9.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 9.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{2} = 4 x$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

Étape 9.3

Multipliez $4$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 9.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{2} = 4 x$ .

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{16}$

Étape 9.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 9.5.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{4 (4)}$

Étape 9.5.2

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 4 \frac{3 π}{4 \cdot 4}$

Étape 9.5.3

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Étape 9.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Étape 9.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

Étape 10

Associez $\sin (u_{2})$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \frac{\sin (u_{2})}{4} d u_{2}$

Étape 11

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u_{2}) d u_{2})$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{4 \cdot 4} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u_{2}) d u_{2}$

Étape 12.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{16} \int_{0}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u_{2}) d u_{2}$

Étape 13

L’intégrale de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{16} \sin (u_{1})]_{0}^{\frac{3 π}{4}} + \frac{1}{16} - \cos (u_{2})]_{0}^{\frac{3 π}{4}}$

Étape 14

Remplacez et simplifiez.

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Étape 14.1

Évaluez $\sin (u_{1})$ sur $\frac{3 π}{4}$ et sur $0$ .

$\frac{1}{16} ((\sin (\frac{3 π}{4})) - \sin (0)) + \frac{1}{16} - \cos (u_{2})]_{0}^{\frac{3 π}{4}}$

Étape 14.2

Évaluez $- \cos (u_{2})$ sur $\frac{3 π}{4}$ et sur $0$ .

$\frac{1}{16} ((\sin (\frac{3 π}{4})) - \sin (0)) + \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{3 π}{4})) + \cos (0))$

Étape 14.3

Supprimez les parenthèses.

$\frac{1}{16} (\sin (\frac{3 π}{4}) - \sin (0)) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + \cos (0))$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{16} (\sin (\frac{3 π}{4}) - 0) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + \cos (0))$

Étape 15.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{16} (\sin (\frac{3 π}{4}) - 0) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$

Étape 15.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{16} (\sin (\frac{3 π}{4}) + 0) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$

Étape 15.4

Additionnez $\sin (\frac{3 π}{4})$ et $0$ .

$\frac{1}{16} \sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$

Étape 15.5

Associez $\frac{1}{16}$ et $\sin (\frac{3 π}{4})$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4})}{16} + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$

Étape 15.6

Pour écrire $\frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4})}{16} + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1) \cdot \frac{16}{16}$

Étape 15.7

Associez $\frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)$ et $\frac{16}{16}$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4})}{16} + \frac{\frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1) \cdot 16}{16}$

Étape 15.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{1}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1) \cdot 16}{16}$

Étape 15.9

Associez $16$ et $\frac{1}{16}$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{16}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)}{16}$

Étape 15.10

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 15.10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{16}{16} (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)}{16}$

Étape 15.10.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + 1 (- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1)}{16}$

Étape 15.11

Multipliez $- \cos (\frac{3 π}{4}) + 1$ par $1$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4}) + 1}{16}$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) - - \cos (\frac{π}{4}) + 1}{16}$

Étape 16.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) - - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Étape 16.3

Multipliez $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 16.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + 1 \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Étape 16.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $1$ .

$\frac{\sin (\frac{3 π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Étape 16.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.4.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Étape 16.4.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Étape 16.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Étape 16.4.4

Additionnez $\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Étape 16.4.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 16.4.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1}{16}$

Étape 16.4.5.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{2} + 1}{16}$

Étape 17

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{2} + 1}{16}$

Forme décimale :

$0.15088834 \dots$