Calcul infinitésimal Exemples

$\int 3 \sqrt{\tan^{2} (4 x) + 1} d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int 3 \sqrt{\sec^{2} (4 x)} d x$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int 3 \sec (4 x) d x$

Étape 2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int \sec (4 x) d x$

Étape 3

Laissez $u = 4 x$ . Alors $d u = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = 4 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 3.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 3.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$3 \int \sec (u) \frac{1}{4} d u$

Étape 4

Associez $\sec (u)$ et $\frac{1}{4}$ .

$3 \int \frac{\sec (u)}{4} d u$

Étape 5

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{1}{4} \int \sec (u) d u)$

Étape 6

Associez $\frac{1}{4}$ et $3$ .

$\frac{3}{4} \int \sec (u) d u$

Étape 7

L’intégrale de $\sec (u)$ par rapport à $u$ est $\ln (| \sec (u) + \tan (u) |)$ .

$\frac{3}{4} (\ln (| \sec (u) + \tan (u) |) + C)$

Étape 8

Simplifiez

$\frac{3}{4} \ln (| \sec (u) + \tan (u) |) + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x$ .

$\frac{3}{4} \ln (| \sec (4 x) + \tan (4 x) |) + C$