Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 3}^{8} (3 \sin (2 x)) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{- 3}^{8} 3 \sin (2 x) d x$

Étape 2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int_{- 3}^{8} \sin (2 x) d x$

Étape 3

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 3.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 3.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot - 3$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$u_{lower} = - 6$

Étape 3.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 8$

Étape 3.5

Multipliez $2$ par $8$ .

$u_{upper} = 16$

Étape 3.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 6$

$u_{upper} = 16$

Étape 3.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$3 \int_{- 6}^{16} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 4

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$3 \int_{- 6}^{16} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{1}{2} \int_{- 6}^{16} \sin (u) d u)$

Étape 6

Associez $\frac{1}{2}$ et $3$ .

$\frac{3}{2} \int_{- 6}^{16} \sin (u) d u$

Étape 7

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$\frac{3}{2} - \cos (u)]_{- 6}^{16}$

Étape 8

Évaluez $- \cos (u)$ sur $16$ et sur $- 6$ .

$\frac{3}{2} (- \cos (16) + \cos (- 6))$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Évaluez $\cos (16)$ .

$\frac{3}{2} (- - 0.95765948 + \cos (- 6))$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 0.95765948$ .

$\frac{3}{2} (0.95765948 + \cos (- 6))$

Étape 9.1.3

Évaluez $\cos (- 6)$ .

$\frac{3}{2} (0.95765948 + 0.96017028)$

Étape 9.2

Additionnez $0.95765948$ et $0.96017028$ .

$\frac{3}{2} \cdot 1.91782976$

Étape 9.3

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot 1.91782976$ .

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Étape 9.3.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $1.91782976$ .

$\frac{3 \cdot 1.91782976}{2}$

Étape 9.3.2

Multipliez $3$ par $1.91782976$ .

$\frac{5.7534893}{2}$

Étape 9.4

Divisez $5.7534893$ par $2$ .

$2.87674465$