Calcul infinitésimal Exemples

$\int 3 x e^{- 9 x} d x$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int x e^{- 9 x} d x$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- 9 x}$ .

$3 (x (- \frac{1}{9} e^{- 9 x}) - \int - \frac{1}{9} e^{- 9 x} d x)$

Étape 3

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Étape 3.1

Associez $e^{- 9 x}$ et $\frac{1}{9}$ .

$3 (x (- \frac{e^{- 9 x}}{9}) - \int - \frac{1}{9} e^{- 9 x} d x)$

Étape 3.2

Associez $x$ et $\frac{e^{- 9 x}}{9}$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} - \int - \frac{1}{9} e^{- 9 x} d x)$

Étape 3.3

Associez $e^{- 9 x}$ et $\frac{1}{9}$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} - \int - \frac{e^{- 9 x}}{9} d x)$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} - - \int \frac{e^{- 9 x}}{9} d x)$

Étape 5

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + 1 \int \frac{e^{- 9 x}}{9} d x)$

Étape 5.2

Multipliez $\int \frac{e^{- 9 x}}{9} d x$ par $1$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + \int \frac{e^{- 9 x}}{9} d x)$

Étape 6

Comme $\frac{1}{9}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{9}$ en dehors de l’intégrale.

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + \frac{1}{9} \int e^{- 9 x} d x)$

Étape 7

Laissez $u = - 9 x$ . Alors $d u = - 9 d x$ , donc $- \frac{1}{9} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = - 9 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $- 9 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 9 x]$

Étape 7.1.2

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 9 \cdot 1$

Étape 7.1.4

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$- 9$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + \frac{1}{9} \int e^{u} \frac{1}{- 9} d u)$

Étape 8

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + \frac{1}{9} \int e^{u} (- \frac{1}{9}) d u)$

Étape 8.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{9}$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + \frac{1}{9} \int - \frac{e^{u}}{9} d u)$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + \frac{1}{9} (- \int \frac{e^{u}}{9} d u))$

Étape 10

Comme $\frac{1}{9}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{9}$ en dehors de l’intégrale.

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} + \frac{1}{9} (- (\frac{1}{9} \int e^{u} d u)))$

Étape 11

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Étape 11.1

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{1}{9}$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} - \frac{1}{9 \cdot 9} \int e^{u} d u)$

Étape 11.2

Multipliez $9$ par $9$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} - \frac{1}{81} \int e^{u} d u)$

Étape 12

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} - \frac{1}{81} (e^{u} + C))$

Étape 13

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Étape 13.1

Réécrivez $3 (- \frac{x e^{- 9 x}}{9} - \frac{1}{81} (e^{u} + C))$ comme $3 (- \frac{1}{9} x e^{- 9 x} - \frac{1}{81} e^{u}) + C$ .

$3 (- \frac{1}{9} x e^{- 9 x} - \frac{1}{81} e^{u}) + C$

Étape 13.2

Simplifiez

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Étape 13.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{9}$ .

$3 (- \frac{x}{9} e^{- 9 x} - \frac{1}{81} e^{u}) + C$

Étape 13.2.2

Associez $e^{- 9 x}$ et $\frac{x}{9}$ .

$3 (- \frac{e^{- 9 x} x}{9} - \frac{1}{81} e^{u}) + C$

Étape 13.2.3

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{81}$ .

$3 (- \frac{e^{- 9 x} x}{9} - \frac{e^{u}}{81}) + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 9 x$ .

$3 (- \frac{e^{- 9 x} x}{9} - \frac{e^{- 9 x}}{81}) + C$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (- \frac{e^{- 9 x} x}{9}) + 3 (- \frac{e^{- 9 x}}{81}) + C$

Étape 15.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 15.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{e^{- 9 x} x}{9}$ dans le numérateur.

$3 \frac{- e^{- 9 x} x}{9} + 3 (- \frac{e^{- 9 x}}{81}) + C$

Étape 15.2.2

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$3 \frac{- e^{- 9 x} x}{3 (3)} + 3 (- \frac{e^{- 9 x}}{81}) + C$

Étape 15.2.3

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{- e^{- 9 x} x}{3 \cdot 3} + 3 (- \frac{e^{- 9 x}}{81}) + C$

Étape 15.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- e^{- 9 x} x}{3} + 3 (- \frac{e^{- 9 x}}{81}) + C$

Étape 15.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 15.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{e^{- 9 x}}{81}$ dans le numérateur.

$\frac{- e^{- 9 x} x}{3} + 3 \frac{- e^{- 9 x}}{81} + C$

Étape 15.3.2

Factorisez $3$ à partir de $81$ .

$\frac{- e^{- 9 x} x}{3} + 3 \frac{- e^{- 9 x}}{3 (27)} + C$

Étape 15.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- e^{- 9 x} x}{3} + 3 \frac{- e^{- 9 x}}{3 \cdot 27} + C$

Étape 15.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- e^{- 9 x} x}{3} + \frac{- e^{- 9 x}}{27} + C$

Étape 15.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{e^{- 9 x} x}{3} + \frac{- e^{- 9 x}}{27} + C$

Étape 15.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{e^{- 9 x} x}{3} - \frac{e^{- 9 x}}{27} + C$

Étape 15.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{e^{- 9 x} x}{3} - \frac{e^{- 9 x}}{27}$ .

$- \frac{x e^{- 9 x}}{3} - \frac{e^{- 9 x}}{27} + C$

Étape 16

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{3} x e^{- 9 x} - \frac{1}{27} e^{- 9 x} + C$