Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 4}^{- 1} x^{2} e^{x} d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2}$ et $d v = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x}]_{- 4}^{- 1} - \int_{- 4}^{- 1} e^{x} (2 x) d x$

Étape 2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$x^{2} e^{x}]_{- 4}^{- 1} - (2 \int_{- 4}^{- 1} e^{x} (x) d x)$

Étape 3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x^{2} e^{x}]_{- 4}^{- 1} - 2 \int_{- 4}^{- 1} e^{x} (x) d x$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x}]_{- 4}^{- 1} - 2 (x e^{x}]_{- 4}^{- 1} - \int_{- 4}^{- 1} e^{x} d x)$

Étape 5

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x}]_{- 4}^{- 1} - 2 (x e^{x}]_{- 4}^{- 1} - (e^{x}]_{- 4}^{- 1}))$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $x^{2} e^{x}$ sur $- 1$ et sur $- 4$ .

$({(- 1)}^{2} e^{- 1}) - {(- 4)}^{2} e^{- 4} - 2 (x e^{x}]_{- 4}^{- 1} - (e^{x}]_{- 4}^{- 1}))$

Étape 6.2

Évaluez $x e^{x}$ sur $- 1$ et sur $- 4$ .

$({(- 1)}^{2} e^{- 1}) - {(- 4)}^{2} e^{- 4} - 2 ((- e^{- 1}) + 4 e^{- 4} - (e^{x}]_{- 4}^{- 1}))$

Étape 6.3

Évaluez $e^{x}$ sur $- 1$ et sur $- 4$ .

$({(- 1)}^{2} e^{- 1}) - {(- 4)}^{2} e^{- 4} - 2 ((- e^{- 1}) + 4 e^{- 4} - ((e^{- 1}) - e^{- 4}))$

Étape 6.4

Simplifiez

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Étape 6.4.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 e^{- 1} - {(- 4)}^{2} e^{- 4} - 2 ((- e^{- 1}) + 4 e^{- 4} - ((e^{- 1}) - e^{- 4}))$

Étape 6.4.2

Multipliez $e^{- 1}$ par $1$ .

$e^{- 1} - {(- 4)}^{2} e^{- 4} - 2 ((- e^{- 1}) + 4 e^{- 4} - ((e^{- 1}) - e^{- 4}))$

Étape 6.4.3

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$e^{- 1} - 1 \cdot 16 e^{- 4} - 2 ((- e^{- 1}) + 4 e^{- 4} - ((e^{- 1}) - e^{- 4}))$

Étape 6.4.4

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$e^{- 1} - 16 e^{- 4} - 2 (- e^{- 1} + 4 e^{- 4} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e} - 16 e^{- 4} - 2 (- e^{- 1} + 4 e^{- 4} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

Étape 7.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e} - 16 \frac{1}{e^{4}} - 2 (- e^{- 1} + 4 e^{- 4} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

Étape 7.1.3

Associez $- 16$ et $\frac{1}{e^{4}}$ .

$\frac{1}{e} + \frac{- 16}{e^{4}} - 2 (- e^{- 1} + 4 e^{- 4} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

Étape 7.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- e^{- 1} + 4 e^{- 4} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

Étape 7.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- \frac{1}{e} + 4 e^{- 4} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

Étape 7.1.5.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- \frac{1}{e} + 4 \frac{1}{e^{4}} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

Étape 7.1.5.3

Associez $4$ et $\frac{1}{e^{4}}$ .

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- \frac{1}{e} + \frac{4}{e^{4}} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

Étape 7.1.5.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- \frac{1}{e} + \frac{4}{e^{4}} - (\frac{1}{e} - e^{- 4}))$

Étape 7.1.5.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- \frac{1}{e} + \frac{4}{e^{4}} - \frac{1}{e} - - e^{- 4})$

Étape 7.1.5.6

Multipliez $- - e^{- 4}$ .

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Étape 7.1.5.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- \frac{1}{e} + \frac{4}{e^{4}} - \frac{1}{e} + 1 e^{- 4})$

Étape 7.1.5.6.2

Multipliez $e^{- 4}$ par $1$ .

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- \frac{1}{e} + \frac{4}{e^{4}} - \frac{1}{e} + e^{- 4})$

Étape 7.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (e^{- 4} + \frac{- 1 - 1}{e} + \frac{4}{e^{4}})$

Étape 7.1.7

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (e^{- 4} + \frac{- 2}{e} + \frac{4}{e^{4}})$

Étape 7.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (e^{- 4} - \frac{2}{e} + \frac{4}{e^{4}})$

Étape 7.1.9

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 e^{- 4} - 2 (- \frac{2}{e}) - 2 \frac{4}{e^{4}}$

Étape 7.1.10

Simplifiez

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Étape 7.1.10.1

Multipliez $- 2 (- \frac{2}{e})$ .

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Étape 7.1.10.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 e^{- 4} + 2 \frac{2}{e} - 2 \frac{4}{e^{4}}$

Étape 7.1.10.1.2

Associez $2$ et $\frac{2}{e}$ .

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 e^{- 4} + \frac{2 \cdot 2}{e} - 2 \frac{4}{e^{4}}$

Étape 7.1.10.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 e^{- 4} + \frac{4}{e} - 2 \frac{4}{e^{4}}$

Étape 7.1.10.2

Multipliez $- 2 \frac{4}{e^{4}}$ .

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Étape 7.1.10.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{4}{e^{4}}$ .

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 e^{- 4} + \frac{4}{e} + \frac{- 2 \cdot 4}{e^{4}}$

Étape 7.1.10.2.2

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 e^{- 4} + \frac{4}{e} + \frac{- 8}{e^{4}}$

Étape 7.1.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 e^{- 4} + \frac{4}{e} - \frac{8}{e^{4}}$

Étape 7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 2 e^{- 4} + \frac{1 + 4}{e} + \frac{- 16 - 8}{e^{4}}$

Étape 7.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$- 2 e^{- 4} + \frac{5}{e} + \frac{- 16 - 8}{e^{4}}$

Étape 7.4

Soustrayez $8$ de $- 16$ .

$- 2 e^{- 4} + \frac{5}{e} + \frac{- 24}{e^{4}}$

Étape 7.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{e^{4}} + \frac{5}{e} + \frac{- 24}{e^{4}}$

Étape 7.5.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{e^{4}}$ .

$\frac{- 2}{e^{4}} + \frac{5}{e} + \frac{- 24}{e^{4}}$

Étape 7.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{e^{4}} + \frac{5}{e} + \frac{- 24}{e^{4}}$

Étape 7.5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{e^{4}} + \frac{5}{e} - \frac{24}{e^{4}}$

Étape 7.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 - 24}{e^{4}} + \frac{5}{e}$

Étape 7.7

Soustrayez $24$ de $- 2$ .

$\frac{- 26}{e^{4}} + \frac{5}{e}$

Étape 7.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{26}{e^{4}} + \frac{5}{e}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{26}{e^{4}} + \frac{5}{e}$

Forme décimale :

$1.36319059 \dots$

Étape 9