Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{4}^{5} \frac{3 x^{2}}{{(x - 2)}^{2} (x - 3)} d x$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int_{4}^{5} \frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{2} (x - 3)} d x$

Étape 2

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 2.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 2.1.1

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 2.1.2

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$

Étape 2.1.3

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x - 3}$

Étape 2.1.4

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est ${(x - 2)}^{2} (x - 3)$ .

$\frac{x^{2} {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{{(x - 2)}^{2} (x - 3)} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Étape 2.1.5

Annulez le facteur commun de ${(x - 2)}^{2}$ .

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Étape 2.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{{(x - 2)}^{2} (x - 3)} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Étape 2.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} (x - 3)}{x - 3} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Étape 2.1.6

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 2.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} (x - 3)}{x - 3} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Étape 2.1.6.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Étape 2.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.7.1

Annulez le facteur commun de ${(x - 2)}^{2}$ .

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Étape 2.1.7.1.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{A {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Étape 2.1.7.1.2

Divisez $(A) (x - 3)$ par $1$ .

$x^{2} = (A) (x - 3) + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Étape 2.1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = A x + A \cdot - 3 + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Étape 2.1.7.3

Déplacez $- 3$ à gauche de $A$ .

$x^{2} = A x - 3 \cdot A + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Étape 2.1.7.4

Annulez le facteur commun à ${(x - 2)}^{2}$ et $x - 2$ .

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Étape 2.1.7.4.1

Factorisez $x - 2$ à partir de $(B) {(x - 2)}^{2} (x - 3)$ .

$x^{2} = A x - 3 A + \frac{(x - 2) (B (x - 2) (x - 3))}{x - 2} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Étape 2.1.7.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.7.4.2.1

Multipliez par $1$ .

$x^{2} = A x - 3 A + \frac{(x - 2) (B (x - 2) (x - 3))}{(x - 2) \cdot 1} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Étape 2.1.7.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = A x - 3 A + \frac{(x - 2) (B (x - 2) (x - 3))}{(x - 2) \cdot 1} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Étape 2.1.7.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = A x - 3 A + \frac{B (x - 2) (x - 3)}{1} + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Étape 2.1.7.4.2.4

Divisez $B (x - 2) (x - 3)$ par $1$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B (x - 2) (x - 3) + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Étape 2.1.7.5

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = A x - 3 A + (B x + B \cdot - 2) (x - 3) + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Étape 2.1.7.6

Déplacez $- 2$ à gauche de $B$ .

$x^{2} = A x - 3 A + (B x - 2 \cdot B) (x - 3) + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Étape 2.1.7.7

Développez $(B x - 2 B) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.7.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = A x - 3 A + B x (x - 3) - 2 B (x - 3) + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Étape 2.1.7.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = A x - 3 A + B x \cdot x + B x \cdot - 3 - 2 B (x - 3) + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Étape 2.1.7.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = A x - 3 A + B x \cdot x + B x \cdot - 3 - 2 B x - 2 B \cdot - 3 + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Étape 2.1.7.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.7.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.7.8.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.7.8.1.1.1

Déplacez $x$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 3 - 2 B x - 2 B \cdot - 3 + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Étape 2.1.7.8.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} + B x \cdot - 3 - 2 B x - 2 B \cdot - 3 + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Étape 2.1.7.8.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $B x$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 3 \cdot (B x) - 2 B x - 2 B \cdot - 3 + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Étape 2.1.7.8.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x - 2 B x + 6 B + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Étape 2.1.7.8.2

Soustrayez $2 B x$ de $- 3 B x$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Étape 2.1.7.9

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 2.1.7.9.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + \frac{(C) {(x - 2)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Étape 2.1.7.9.2

Divisez $(C) {(x - 2)}^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + (C) {(x - 2)}^{2}$

Étape 2.1.7.10

Réécrivez ${(x - 2)}^{2}$ comme $(x - 2) (x - 2)$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C ((x - 2) (x - 2))$

Étape 2.1.7.11

Développez $(x - 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.7.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C (x (x - 2) - 2 (x - 2))$

Étape 2.1.7.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2))$

Étape 2.1.7.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Étape 2.1.7.12

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.7.12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.7.12.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Étape 2.1.7.12.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Étape 2.1.7.12.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C (x^{2} - 2 x - 2 x + 4)$

Étape 2.1.7.12.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C (x^{2} - 4 x + 4)$

Étape 2.1.7.13

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C x^{2} + C (- 4 x) + C \cdot 4$

Étape 2.1.7.14

Simplifiez

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Étape 2.1.7.14.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C x^{2} - 4 C x + C \cdot 4$

Étape 2.1.7.14.2

Déplacez $4$ à gauche de $C$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C x^{2} - 4 C x + 4 \cdot C$

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 B x + 6 B + C x^{2} - 4 C x + 4 C$

Étape 2.1.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.8.1

Déplacez $B$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 x B + 6 B + C x^{2} - 4 C x + 4 C$

Étape 2.1.8.2

Déplacez $6 B$ .

$x^{2} = A x - 3 A + B x^{2} - 5 x B + C x^{2} - 4 C x + 6 B + 4 C$

Étape 2.1.8.3

Déplacez $- 3 A$ .

$x^{2} = A x + B x^{2} - 5 x B + C x^{2} - 4 C x - 3 A + 6 B + 4 C$

Étape 2.1.8.4

Déplacez $- 5 x B$ .

$x^{2} = A x + B x^{2} + C x^{2} - 5 x B - 4 C x - 3 A + 6 B + 4 C$

Étape 2.1.8.5

Déplacez $A x$ .

$x^{2} = B x^{2} + C x^{2} + A x - 5 x B - 4 C x - 3 A + 6 B + 4 C$

Étape 2.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 2.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x^{2}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = B + C$

Étape 2.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = A - 5 B - 4 C$

Étape 2.2.3

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

Étape 2.2.4

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$1 = B + C$

$0 = A - 5 B - 4 C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

$1 = B + C$

$0 = A - 5 B - 4 C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

Étape 2.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 2.3.1

Résolvez $B$ dans $1 = B + C$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $B + C = 1$ .

$B + C = 1$

$0 = A - 5 B - 4 C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

Étape 2.3.1.2

Soustrayez $C$ des deux côtés de l’équation.

$B = 1 - C$

$0 = A - 5 B - 4 C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

$B = 1 - C$

$0 = A - 5 B - 4 C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

Étape 2.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $1 - C$ dans chaque équation.

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Étape 2.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $0 = A - 5 B - 4 C$ par $1 - C$ .

$0 = A - 5 (1 - C) - 4 C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.2.1

Simplifiez $A - 5 (1 - C) - 4 C$ .

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Étape 2.3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$0 = A - 5 \cdot 1 - 5 (- C) - 4 C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

Étape 2.3.2.2.1.1.2

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$0 = A - 5 - 5 (- C) - 4 C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

Étape 2.3.2.2.1.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$0 = A - 5 + 5 C - 4 C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

$0 = A - 5 + 5 C - 4 C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

Étape 2.3.2.2.1.2

Soustrayez $4 C$ de $5 C$ .

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 B + 4 C$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $0 = - 3 A + 6 B + 4 C$ par $1 - C$ .

$0 = - 3 A + 6 (1 - C) + 4 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

Étape 2.3.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.4.1

Simplifiez $- 3 A + 6 (1 - C) + 4 C$ .

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Étape 2.3.2.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.4.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$0 = - 3 A + 6 \cdot 1 + 6 (- C) + 4 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

Étape 2.3.2.4.1.1.2

Multipliez $6$ par $1$ .

$0 = - 3 A + 6 + 6 (- C) + 4 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

Étape 2.3.2.4.1.1.3

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$0 = - 3 A + 6 - 6 C + 4 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 - 6 C + 4 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

Étape 2.3.2.4.1.2

Additionnez $- 6 C$ et $4 C$ .

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

$0 = A - 5 + C$

$B = 1 - C$

Étape 2.3.3

Remettez dans l’ordre $1$ et $- C$ .

$B = - C + 1$

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

$0 = A - 5 + C$

Étape 2.3.4

Résolvez $A$ dans $0 = A - 5 + C$ .

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Étape 2.3.4.1

Réécrivez l’équation comme $A - 5 + C = 0$ .

$A - 5 + C = 0$

$B = - C + 1$

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

Étape 2.3.4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $A$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.4.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$A + C = 5$

$B = - C + 1$

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

Étape 2.3.4.2.2

Soustrayez $C$ des deux côtés de l’équation.

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

$0 = - 3 A + 6 - 2 C$

Étape 2.3.5

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $5 - C$ dans chaque équation.

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Étape 2.3.5.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $0 = - 3 A + 6 - 2 C$ par $5 - C$ .

$0 = - 3 (5 - C) + 6 - 2 C$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.5.2.1

Simplifiez $- 3 (5 - C) + 6 - 2 C$ .

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Étape 2.3.5.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.5.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$0 = - 3 \cdot 5 - 3 (- C) + 6 - 2 C$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

Étape 2.3.5.2.1.1.2

Multipliez $- 3$ par $5$ .

$0 = - 15 - 3 (- C) + 6 - 2 C$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

Étape 2.3.5.2.1.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$0 = - 15 + 3 C + 6 - 2 C$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

$0 = - 15 + 3 C + 6 - 2 C$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

Étape 2.3.5.2.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.3.5.2.1.2.1

Additionnez $- 15$ et $6$ .

$0 = 3 C - 9 - 2 C$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

Étape 2.3.5.2.1.2.2

Soustrayez $2 C$ de $3 C$ .

$0 = C - 9$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

$0 = C - 9$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

$0 = C - 9$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

$0 = C - 9$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

$0 = C - 9$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

Étape 2.3.6

Résolvez $C$ dans $0 = C - 9$ .

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Étape 2.3.6.1

Réécrivez l’équation comme $C - 9 = 0$ .

$C - 9 = 0$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

Étape 2.3.6.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$C = 9$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

$C = 9$

$A = 5 - C$

$B = - C + 1$

Étape 2.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $C$ par $9$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.7.1

Remplacez toutes les occurrences de $C$ dans $A = 5 - C$ par $9$ .

$A = 5 - (9)$

$C = 9$

$B = - C + 1$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.7.2.1

Simplifiez $5 - (9)$ .

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Étape 2.3.7.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$A = 5 - 9$

$C = 9$

$B = - C + 1$

Étape 2.3.7.2.1.2

Soustrayez $9$ de $5$ .

$A = - 4$

$C = 9$

$B = - C + 1$

$A = - 4$

$C = 9$

$B = - C + 1$

$A = - 4$

$C = 9$

$B = - C + 1$

Étape 2.3.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $C$ dans $B = - C + 1$ par $9$ .

$B = - (9) + 1$

$A = - 4$

$C = 9$

Étape 2.3.7.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.7.4.1

Simplifiez $- (9) + 1$ .

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Étape 2.3.7.4.1.1

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$B = - 9 + 1$

$A = - 4$

$C = 9$

Étape 2.3.7.4.1.2

Additionnez $- 9$ et $1$ .

$B = - 8$

$A = - 4$

$C = 9$

$B = - 8$

$A = - 4$

$C = 9$

$B = - 8$

$A = - 4$

$C = 9$

$B = - 8$

$A = - 4$

$C = 9$

Étape 2.3.8

Indiquez toutes les solutions.

$B = - 8, A = - 4, C = 9$

Étape 2.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x - 3}$ par les valeurs trouvées pour $A$ , $B$ et $C$ .

$\frac{- 4}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 8}{x - 2} + \frac{9}{x - 3}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 8}{x - 2} + \frac{9}{x - 3}$

Étape 2.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 \int_{4}^{5} - \frac{4}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{8}{x - 2} + \frac{9}{x - 3} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$3 (\int_{4}^{5} - \frac{4}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int_{4}^{5} - \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$3 (- \int_{4}^{5} \frac{4}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int_{4}^{5} - \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Étape 5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$3 (- (4 \int_{4}^{5} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x) + \int_{4}^{5} - \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Étape 6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$3 (- 4 \int_{4}^{5} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int_{4}^{5} - \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Étape 7

Laissez $u_{1} = x - 2$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 7.1

Laissez $u_{1} = x - 2$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 7.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 7.1.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 7.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 7.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{1} = x - 2$ .

$u_{lower} = 4 - 2$

Étape 7.3

Soustrayez $2$ de $4$ .

$u_{lower} = 2$

Étape 7.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{1} = x - 2$ .

$u_{upper} = 5 - 2$

Étape 7.5

Soustrayez $2$ de $5$ .

$u_{upper} = 3$

Étape 7.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 3$

Étape 7.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ , $d u_{1}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$3 (- 4 \int_{2}^{3} \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int_{4}^{5} - \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Étape 8

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 8.1

Retirez ${u_{1}}^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$3 (- 4 \int_{2}^{3} {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int_{4}^{5} - \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Étape 8.2

Multipliez les exposants dans ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 8.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (- 4 \int_{2}^{3} {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int_{4}^{5} - \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Étape 8.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 (- 4 \int_{2}^{3} {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int_{4}^{5} - \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{1}}^{- 2}$ par rapport à $u_{1}$ est $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$3 (- 4 (- {u_{1}}^{- 1}]_{2}^{3}) + \int_{4}^{5} - \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Étape 10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$3 (- 4 (- {u_{1}}^{- 1}]_{2}^{3}) - \int_{4}^{5} \frac{8}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Étape 11

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$3 (- 4 (- {u_{1}}^{- 1}]_{2}^{3}) - (8 \int_{4}^{5} \frac{1}{x - 2} d x) + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Étape 12

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$3 (- 4 (- {u_{1}}^{- 1}]_{2}^{3}) - 8 \int_{4}^{5} \frac{1}{x - 2} d x + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Étape 13

Laissez $u_{2} = x - 2$ . Puis $d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 13.1

Laissez $u_{2} = x - 2$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 13.1.1

Différenciez $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 13.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 13.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 13.1.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 13.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 13.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{2} = x - 2$ .

$u_{lower} = 4 - 2$

Étape 13.3

Soustrayez $2$ de $4$ .

$u_{lower} = 2$

Étape 13.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{2} = x - 2$ .

$u_{upper} = 5 - 2$

Étape 13.5

Soustrayez $2$ de $5$ .

$u_{upper} = 3$

Étape 13.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 3$

Étape 13.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$3 (- 4 (- {u_{1}}^{- 1}]_{2}^{3}) - 8 \int_{2}^{3} \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Étape 14

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$3 (- 4 (- {u_{1}}^{- 1}]_{2}^{3}) - 8 (\ln (| u_{2} |)]_{2}^{3}) + \int_{4}^{5} \frac{9}{x - 3} d x)$

Étape 15

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$3 (- 4 (- {u_{1}}^{- 1}]_{2}^{3}) - 8 (\ln (| u_{2} |)]_{2}^{3}) + 9 \int_{4}^{5} \frac{1}{x - 3} d x)$

Étape 16

Laissez $u_{3} = x - 3$ . Puis $d u_{3} = d x$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 16.1

Laissez $u_{3} = x - 3$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Étape 16.1.1

Différenciez $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Étape 16.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 16.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 16.1.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 16.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 16.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{3} = x - 3$ .

$u_{lower} = 4 - 3$

Étape 16.3

Soustrayez $3$ de $4$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 16.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{3} = x - 3$ .

$u_{upper} = 5 - 3$

Étape 16.5

Soustrayez $3$ de $5$ .

$u_{upper} = 2$

Étape 16.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Étape 16.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ , $d u_{3}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$3 (- 4 (- {u_{1}}^{- 1}]_{2}^{3}) - 8 (\ln (| u_{2} |)]_{2}^{3}) + 9 \int_{1}^{2} \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Étape 17

L’intégrale de $\frac{1}{u_{3}}$ par rapport à $u_{3}$ est $\ln (| u_{3} |)$ .

$3 (- 4 (- {u_{1}}^{- 1}]_{2}^{3}) - 8 (\ln (| u_{2} |)]_{2}^{3}) + 9 (\ln (| u_{3} |)]_{1}^{2}))$

Étape 18

Remplacez et simplifiez.

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Étape 18.1

Évaluez $- {u_{1}}^{- 1}$ sur $3$ et sur $2$ .

$3 (- 4 ((- 3^{- 1}) + 2^{- 1}) - 8 (\ln (| u_{2} |)]_{2}^{3}) + 9 (\ln (| u_{3} |)]_{1}^{2}))$

Étape 18.2

Évaluez $\ln (| u_{2} |)$ sur $3$ et sur $2$ .

$3 (- 4 ((- 3^{- 1}) + 2^{- 1}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 (\ln (| u_{3} |)]_{1}^{2}))$

Étape 18.3

Évaluez $\ln (| u_{3} |)$ sur $2$ et sur $1$ .

$3 (- 4 ((- 3^{- 1}) + 2^{- 1}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Étape 18.4

Simplifiez

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Étape 18.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- 4 (- \frac{1}{3} + 2^{- 1}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Étape 18.4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- 4 (- \frac{1}{3} + \frac{1}{2}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Étape 18.4.3

Pour écrire $- \frac{1}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 (- 4 (- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Étape 18.4.4

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$3 (- 4 (- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Étape 18.4.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 18.4.5.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$3 (- 4 (- \frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Étape 18.4.5.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$3 (- 4 (- \frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Étape 18.4.5.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$3 (- 4 (- \frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Étape 18.4.5.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$3 (- 4 (- \frac{2}{6} + \frac{3}{6}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Étape 18.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 (- 4 \frac{- 2 + 3}{6} - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Étape 18.4.7

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$3 (- 4 (\frac{1}{6}) - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Étape 18.4.8

Associez $- 4$ et $\frac{1}{6}$ .

$3 (\frac{- 4}{6} - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Étape 18.4.9

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $6$ .

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Étape 18.4.9.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$3 (\frac{2 (- 2)}{6} - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Étape 18.4.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 18.4.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$3 (\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3} - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Étape 18.4.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 (\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3} - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Étape 18.4.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{- 2}{3} - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Étape 18.4.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 (- \frac{2}{3} - 8 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Étape 18.4.11

Pour écrire $- 8 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$3 (- \frac{2}{3} - 8 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) \cdot \frac{3}{3} + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Étape 18.4.12

Associez $- 8 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |))$ et $\frac{3}{3}$ .

$3 (- \frac{2}{3} + \frac{- 8 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) \cdot 3}{3} + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Étape 18.4.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 (\frac{- 2 - 8 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) \cdot 3}{3} + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Étape 18.4.14

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$3 (\frac{- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |))}{3} + 9 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Étape 18.4.15

Pour écrire $9 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |))}{3} + 9 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{3}{3})$

Étape 18.4.16

Associez $9 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$ et $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |))}{3} + \frac{9 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3})$

Étape 18.4.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \frac{- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) + 9 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3}$

Étape 18.4.18

Multipliez $3$ par $9$ .

$3 \frac{- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) + 27 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{3}$

Étape 18.4.19

Associez $3$ et $\frac{- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) + 27 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{3}$ .

$\frac{3 (- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) + 27 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))}{3}$

Étape 18.4.20

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 18.4.20.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) + 27 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))}{3}$

Étape 18.4.20.2

Divisez $- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) + 27 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$ par $1$ .

$- 2 - 24 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) + 27 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 19

Simplifiez

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Étape 19.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 2 - 24 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |}) + 27 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 19.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 2 - 24 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |}) + 27 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Étape 20

Simplifiez

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Étape 20.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$- 2 - 24 \ln (\frac{3}{| 2 |}) + 27 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Étape 20.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$- 2 - 24 \ln (\frac{3}{2}) + 27 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Étape 20.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$- 2 - 24 \ln (\frac{3}{2}) + 27 \ln (\frac{2}{| 1 |})$

Étape 20.4

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$- 2 - 24 \ln (\frac{3}{2}) + 27 \ln (\frac{2}{1})$

Étape 20.5

Divisez $2$ par $1$ .

$- 2 - 24 \ln (\frac{3}{2}) + 27 \ln (2)$

Étape 21

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- 2 - 24 \ln (\frac{3}{2}) + 27 \ln (2)$

Forme décimale :

$6.98381128 \dots$

Étape 22