Calcul infinitésimal Exemples

$\int 2 \sec^{4} (y) d y$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \sec^{4} (y) d y$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Réécrivez $4$ comme $2$ plus $2$

$2 \int {\sec (y)}^{2 + 2} d y$

Étape 2.2

Réécrivez ${\sec (y)}^{2 + 2}$ comme $\sec^{2} (y) \sec^{2} (y)$ .

$2 \int \sec^{2} (y) \sec^{2} (y) d y$

Étape 3

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\sec^{2} (y)$ comme $1 + \tan^{2} (y)$ .

$2 \int (1 + \tan^{2} (y)) \sec^{2} (y) d y$

Étape 4

Laissez $u = \tan (y)$ . Alors $d u = \sec^{2} (y) d y$ , donc $\frac{1}{\sec^{2} (y)} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = \tan (y)$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $\tan (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\tan (y)]$

Étape 4.1.2

La dérivée de $\tan (y)$ par rapport à $y$ est $\sec^{2} (y)$ .

$\sec^{2} (y)$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 \int 1 + u^{2} d u$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$2 (\int d u + \int u^{2} d u)$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$2 (u + C + \int u^{2} d u)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$2 (u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{3}$ .

$2 (u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Étape 8.2

Simplifiez

$2 (u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\tan (y)$ .

$2 (\tan (y) + \frac{1}{3} \tan^{3} (y)) + C$