Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{2}^{e + 1} \frac{4}{x - 1} d x$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int_{2}^{e + 1} \frac{1}{x - 1} d x$

Étape 2

Laissez $u = x - 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x - 1$ .

$u_{lower} = 2 - 1$

Étape 2.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x - 1$ .

$u_{upper} = e + 1 - 1$

Étape 2.5

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Étape 2.5.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$u_{upper} = e + 0$

Étape 2.5.2

Additionnez $e$ et $0$ .

$u_{upper} = e$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$4 \int_{1}^{e} \frac{1}{u} d u$

Étape 3

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$4 (\ln (| u |)]_{1}^{e})$

Étape 4

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $e$ et sur $1$ .

$4 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Étape 5

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$4 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Étape 6

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Étape 6.1

$e$ est d’environ $2.71828182$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$4 \ln (\frac{e}{| 1 |})$

Étape 6.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$4 \ln (\frac{e}{1})$

Étape 6.3

Divisez $e$ par $1$ .

$4 \ln (e)$

Étape 6.4

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 6.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 7