Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{2}^{5} \frac{6}{{(3 x + 1)}^{3}} d x$

Étape 1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int_{2}^{5} \frac{1}{{(3 x + 1)}^{3}} d x$

Étape 2

Laissez $u = 3 x + 1$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 3 x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 2.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 3 x + 1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 2 + 1$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$u_{lower} = 6 + 1$

Étape 2.3.2

Additionnez $6$ et $1$ .

$u_{lower} = 7$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 3 x + 1$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 5 + 1$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Multipliez $3$ par $5$ .

$u_{upper} = 15 + 1$

Étape 2.5.2

Additionnez $15$ et $1$ .

$u_{upper} = 16$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 7$

$u_{upper} = 16$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$6 \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{u^{3}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$6 \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3} \cdot 3} d u$

Étape 3.2

Déplacez $3$ à gauche de $u^{3}$ .

$6 \int_{7}^{16} \frac{1}{3 u^{3}} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\frac{1}{3} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u)$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Simplifiez

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Étape 5.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $6$ .

$\frac{6}{3} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Étape 5.1.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 5.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Étape 5.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Étape 5.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Étape 5.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Étape 5.1.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Étape 5.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.2.1

Retirez $u^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$2 \int_{7}^{16} {(u^{3})}^{- 1} d u$

Étape 5.2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int_{7}^{16} u^{3 \cdot - 1} d u$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$2 \int_{7}^{16} u^{- 3} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 3}$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} u^{- 2}]_{7}^{16})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Associez $u^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{u^{- 2}}{2}]_{7}^{16})$

Étape 7.2

Placez $u^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{7}^{16})$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $- \frac{1}{2 u^{2}}$ sur $16$ et sur $7$ .

$2 ((- \frac{1}{2 \cdot 16^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 7^{2}})$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$2 (- \frac{1}{2 \cdot 256} + \frac{1}{2 \cdot 7^{2}})$

Étape 8.2.2

Multipliez $2$ par $256$ .

$2 (- \frac{1}{512} + \frac{1}{2 \cdot 7^{2}})$

Étape 8.2.3

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$2 (- \frac{1}{512} + \frac{1}{2 \cdot 49})$

Étape 8.2.4

Multipliez $2$ par $49$ .

$2 (- \frac{1}{512} + \frac{1}{98})$

Étape 8.2.5

Pour écrire $- \frac{1}{512}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{49}{49}$ .

$2 (- \frac{1}{512} \cdot \frac{49}{49} + \frac{1}{98})$

Étape 8.2.6

Pour écrire $\frac{1}{98}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{256}{256}$ .

$2 (- \frac{1}{512} \cdot \frac{49}{49} + \frac{1}{98} \cdot \frac{256}{256})$

Étape 8.2.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $25088$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.2.7.1

Multipliez $\frac{1}{512}$ par $\frac{49}{49}$ .

$2 (- \frac{49}{512 \cdot 49} + \frac{1}{98} \cdot \frac{256}{256})$

Étape 8.2.7.2

Multipliez $512$ par $49$ .

$2 (- \frac{49}{25088} + \frac{1}{98} \cdot \frac{256}{256})$

Étape 8.2.7.3

Multipliez $\frac{1}{98}$ par $\frac{256}{256}$ .

$2 (- \frac{49}{25088} + \frac{256}{98 \cdot 256})$

Étape 8.2.7.4

Multipliez $98$ par $256$ .

$2 (- \frac{49}{25088} + \frac{256}{25088})$

Étape 8.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \frac{- 49 + 256}{25088}$

Étape 8.2.9

Additionnez $- 49$ et $256$ .

$2 (\frac{207}{25088})$

Étape 8.2.10

Associez $2$ et $\frac{207}{25088}$ .

$\frac{2 \cdot 207}{25088}$

Étape 8.2.11

Multipliez $2$ par $207$ .

$\frac{414}{25088}$

Étape 8.2.12

Annulez le facteur commun à $414$ et $25088$ .

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Étape 8.2.12.1

Factorisez $2$ à partir de $414$ .

$\frac{2 (207)}{25088}$

Étape 8.2.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.12.2.1

Factorisez $2$ à partir de $25088$ .

$\frac{2 \cdot 207}{2 \cdot 12544}$

Étape 8.2.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 207}{2 \cdot 12544}$

Étape 8.2.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{207}{12544}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{207}{12544}$

Forme décimale :

$0.01650191 \dots$

Étape 10