Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{2}^{5} 3 x - \frac{6}{7 x^{2}} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{2}^{5} 3 x d x + \int_{2}^{5} - \frac{6}{7 x^{2}} d x$

Étape 2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int_{2}^{5} x d x + \int_{2}^{5} - \frac{6}{7 x^{2}} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{5}) + \int_{2}^{5} - \frac{6}{7 x^{2}} d x$

Étape 4

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}) + \int_{2}^{5} - \frac{6}{7 x^{2}} d x$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}) - \int_{2}^{5} \frac{6}{7 x^{2}} d x$

Étape 6

Comme $\frac{6}{7}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{6}{7}$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}) - (\frac{6}{7} \int_{2}^{5} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Étape 7

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 7.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}) - \frac{6}{7} \int_{2}^{5} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 7.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 7.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}) - \frac{6}{7} \int_{2}^{5} x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 7.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}) - \frac{6}{7} \int_{2}^{5} x^{- 2} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}) - \frac{6}{7} - x^{- 1}]_{2}^{5}$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $5$ et sur $2$ .

$3 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}) - \frac{6}{7} - x^{- 1}]_{2}^{5}$

Étape 9.2

Évaluez $- x^{- 1}$ sur $5$ et sur $2$ .

$3 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$3 (\frac{25}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

Étape 9.3.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$3 (\frac{25}{2} - \frac{4}{2}) - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

Étape 9.3.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 9.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$3 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

Étape 9.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$3 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

Étape 9.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

Étape 9.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{25}{2} - \frac{2}{1}) - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

Étape 9.3.3.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$3 (\frac{25}{2} - 1 \cdot 2) - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

Étape 9.3.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 (\frac{25}{2} - 2) - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

Étape 9.3.5

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{25}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

Étape 9.3.6

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{25}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

Étape 9.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \frac{25 - 2 \cdot 2}{2} - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

Étape 9.3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.3.8.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$3 \frac{25 - 4}{2} - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

Étape 9.3.8.2

Soustrayez $4$ de $25$ .

$3 (\frac{21}{2}) - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

Étape 9.3.9

Associez $3$ et $\frac{21}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 21}{2} - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

Étape 9.3.10

Multipliez $3$ par $21$ .

$\frac{63}{2} - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

Étape 9.3.11

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{63}{2} - \frac{6}{7} (- \frac{1}{5} + 2^{- 1})$

Étape 9.3.12

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{63}{2} - \frac{6}{7} (- \frac{1}{5} + \frac{1}{2})$

Étape 9.3.13

Pour écrire $- \frac{1}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{63}{2} - \frac{6}{7} (- \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

Étape 9.3.14

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{63}{2} - \frac{6}{7} (- \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5})$

Étape 9.3.15

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $10$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.3.15.1

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{63}{2} - \frac{6}{7} (- \frac{2}{5 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5})$

Étape 9.3.15.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{63}{2} - \frac{6}{7} (- \frac{2}{10} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5})$

Étape 9.3.15.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{63}{2} - \frac{6}{7} (- \frac{2}{10} + \frac{5}{2 \cdot 5})$

Étape 9.3.15.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{63}{2} - \frac{6}{7} (- \frac{2}{10} + \frac{5}{10})$

Étape 9.3.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{63}{2} - \frac{6}{7} \cdot \frac{- 2 + 5}{10}$

Étape 9.3.17

Additionnez $- 2$ et $5$ .

$\frac{63}{2} - \frac{6}{7} \cdot \frac{3}{10}$

Étape 9.3.18

Multipliez $\frac{3}{10}$ par $\frac{6}{7}$ .

$\frac{63}{2} - \frac{3 \cdot 6}{10 \cdot 7}$

Étape 9.3.19

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{63}{2} - \frac{18}{10 \cdot 7}$

Étape 9.3.20

Multipliez $10$ par $7$ .

$\frac{63}{2} - \frac{18}{70}$

Étape 9.3.21

Annulez le facteur commun à $18$ et $70$ .

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Étape 9.3.21.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$\frac{63}{2} - \frac{2 (9)}{70}$

Étape 9.3.21.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.21.2.1

Factorisez $2$ à partir de $70$ .

$\frac{63}{2} - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 35}$

Étape 9.3.21.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{63}{2} - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 35}$

Étape 9.3.21.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{63}{2} - \frac{9}{35}$

Étape 9.3.22

Pour écrire $\frac{63}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{35}{35}$ .

$\frac{63}{2} \cdot \frac{35}{35} - \frac{9}{35}$

Étape 9.3.23

Pour écrire $- \frac{9}{35}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{63}{2} \cdot \frac{35}{35} - \frac{9}{35} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 9.3.24

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $70$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.3.24.1

Multipliez $\frac{63}{2}$ par $\frac{35}{35}$ .

$\frac{63 \cdot 35}{2 \cdot 35} - \frac{9}{35} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 9.3.24.2

Multipliez $2$ par $35$ .

$\frac{63 \cdot 35}{70} - \frac{9}{35} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 9.3.24.3

Multipliez $\frac{9}{35}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{63 \cdot 35}{70} - \frac{9 \cdot 2}{35 \cdot 2}$

Étape 9.3.24.4

Multipliez $35$ par $2$ .

$\frac{63 \cdot 35}{70} - \frac{9 \cdot 2}{70}$

Étape 9.3.25

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{63 \cdot 35 - 9 \cdot 2}{70}$

Étape 9.3.26

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.3.26.1

Multipliez $63$ par $35$ .

$\frac{2205 - 9 \cdot 2}{70}$

Étape 9.3.26.2

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$\frac{2205 - 18}{70}$

Étape 9.3.26.3

Soustrayez $18$ de $2205$ .

$\frac{2187}{70}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2187}{70}$

Forme décimale :

$31.24285714 \dots$

Forme de nombre mixte :

$31 \frac{17}{70}$

Étape 11