Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 3}^{2} - x^{2} - x + 6 d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 3}^{2} - x^{2} d x + \int_{- 3}^{2} - x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Étape 2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{- 3}^{2} x^{2} d x + \int_{- 3}^{2} - x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2}) + \int_{- 3}^{2} - x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Étape 4

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) + \int_{- 3}^{2} - x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) - \int_{- 3}^{2} x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2}) + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Étape 7

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{2}) + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{2}) + 6 x]_{- 3}^{2}$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $2$ et sur $- 3$ .

$- ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{2}) + 6 x]_{- 3}^{2}$

Étape 9.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $2$ et sur $- 3$ .

$- (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 6 x]_{- 3}^{2}$

Étape 9.3

Évaluez $6 x$ sur $2$ et sur $- 3$ .

$- (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4

Simplifiez

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Étape 9.4.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.2

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{- 27}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.3

Annulez le facteur commun à $- 27$ et $3$ .

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Étape 9.4.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 27$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- (\frac{8}{3} - \frac{- 9}{1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.3.2.4

Divisez $- 9$ par $1$ .

$- (\frac{8}{3} - - 9) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.4

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$- (\frac{8}{3} + 9) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.5

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{8}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.6

Associez $9$ et $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{8 + 9 \cdot 3}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.8.1

Multipliez $9$ par $3$ .

$- \frac{8 + 27}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.8.2

Additionnez $8$ et $27$ .

$- \frac{35}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.9

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{35}{3} - (\frac{4}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.10

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 9.4.10.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{35}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{35}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{35}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{35}{3} - (\frac{2}{1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.10.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$- \frac{35}{3} - (2 - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.11

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$- \frac{35}{3} - (2 - \frac{9}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.12

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{35}{3} - (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.13

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{35}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{35}{3} - \frac{2 \cdot 2 - 9}{2} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.15.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{35}{3} - \frac{4 - 9}{2} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.15.2

Soustrayez $9$ de $4$ .

$- \frac{35}{3} - \frac{- 5}{2} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{35}{3} - - \frac{5}{2} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.17

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{35}{3} + 1 (\frac{5}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.18

Multipliez $\frac{5}{2}$ par $1$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{5}{2} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.19

Pour écrire $- \frac{35}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{35}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.20

Pour écrire $\frac{5}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{35}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{3} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.21

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.4.21.1

Multipliez $\frac{35}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{35 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{3} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.21.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{35 \cdot 2}{6} + \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{3} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.21.3

Multipliez $\frac{5}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{35 \cdot 2}{6} + \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.21.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{35 \cdot 2}{6} + \frac{5 \cdot 3}{6} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 35 \cdot 2 + 5 \cdot 3}{6} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.23

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.23.1

Multipliez $- 35$ par $2$ .

$\frac{- 70 + 5 \cdot 3}{6} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.23.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{- 70 + 15}{6} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.23.3

Additionnez $- 70$ et $15$ .

$\frac{- 55}{6} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.24

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{55}{6} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.25

Multipliez $6$ par $2$ .

$- \frac{55}{6} + 12 - 6 \cdot - 3$

Étape 9.4.26

Multipliez $- 6$ par $- 3$ .

$- \frac{55}{6} + 12 + 18$

Étape 9.4.27

Additionnez $12$ et $18$ .

$- \frac{55}{6} + 30$

Étape 9.4.28

Pour écrire $30$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{55}{6} + 30 \cdot \frac{6}{6}$

Étape 9.4.29

Associez $30$ et $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{55}{6} + \frac{30 \cdot 6}{6}$

Étape 9.4.30

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 55 + 30 \cdot 6}{6}$

Étape 9.4.31

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.31.1

Multipliez $30$ par $6$ .

$\frac{- 55 + 180}{6}$

Étape 9.4.31.2

Additionnez $- 55$ et $180$ .

$\frac{125}{6}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{125}{6}$

Forme décimale :

$20.8\overline{3}$

Forme de nombre mixte :

$20 \frac{5}{6}$

Étape 11