Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{27}^{64} \sqrt[3]{x} - 3 d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{27}^{64} \sqrt[3]{x} d x + \int_{27}^{64} - 3 d x$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{27}^{64} x^{\frac{1}{3}} d x + \int_{27}^{64} - 3 d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{27}^{64} + \int_{27}^{64} - 3 d x$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{27}^{64} + - 3 x]_{27}^{64}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Associez $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{27}^{64}$ et $- 3 x]_{27}^{64}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} - 3 x]_{27}^{64}$

Étape 5.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Évaluez $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} - 3 x$ sur $64$ et sur $27$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 64^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 64) - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Étape 5.2.2

Simplifiez

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Étape 5.2.2.1

Réécrivez $64$ comme $4^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot {(4^{3})}^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Étape 5.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \cdot 4^{3 (\frac{4}{3})} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Étape 5.2.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{4} \cdot 4^{3 (\frac{4}{3})} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Étape 5.2.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{4} \cdot 4^{4} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Étape 5.2.2.4

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot 256 - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Étape 5.2.2.5

Associez $\frac{3}{4}$ et $256$ .

$\frac{3 \cdot 256}{4} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Étape 5.2.2.6

Multipliez $3$ par $256$ .

$\frac{768}{4} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Étape 5.2.2.7

Annulez le facteur commun à $768$ et $4$ .

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Étape 5.2.2.7.1

Factorisez $4$ à partir de $768$ .

$\frac{4 \cdot 192}{4} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Étape 5.2.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.7.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 \cdot 192}{4 (1)} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Étape 5.2.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 192}{4 \cdot 1} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Étape 5.2.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{192}{1} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Étape 5.2.2.7.2.4

Divisez $192$ par $1$ .

$192 - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Étape 5.2.2.8

Multipliez $- 3$ par $64$ .

$192 - 192 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Étape 5.2.2.9

Soustrayez $192$ de $192$ .

$0 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Étape 5.2.2.10

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$0 - (\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Étape 5.2.2.11

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - 3 \cdot 27)$

Étape 5.2.2.12

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.2.12.1

Annulez le facteur commun.

$0 - (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - 3 \cdot 27)$

Étape 5.2.2.12.2

Réécrivez l’expression.

$0 - (\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - 3 \cdot 27)$

Étape 5.2.2.13

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$0 - (\frac{3}{4} \cdot 81 - 3 \cdot 27)$

Étape 5.2.2.14

Associez $\frac{3}{4}$ et $81$ .

$0 - (\frac{3 \cdot 81}{4} - 3 \cdot 27)$

Étape 5.2.2.15

Multipliez $3$ par $81$ .

$0 - (\frac{243}{4} - 3 \cdot 27)$

Étape 5.2.2.16

Multipliez $- 3$ par $27$ .

$0 - (\frac{243}{4} - 81)$

Étape 5.2.2.17

Pour écrire $- 81$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$0 - (\frac{243}{4} - 81 \cdot \frac{4}{4})$

Étape 5.2.2.18

Associez $- 81$ et $\frac{4}{4}$ .

$0 - (\frac{243}{4} + \frac{- 81 \cdot 4}{4})$

Étape 5.2.2.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 - \frac{243 - 81 \cdot 4}{4}$

Étape 5.2.2.20

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.2.20.1

Multipliez $- 81$ par $4$ .

$0 - \frac{243 - 324}{4}$

Étape 5.2.2.20.2

Soustrayez $324$ de $243$ .

$0 - \frac{- 81}{4}$

Étape 5.2.2.21

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - - \frac{81}{4}$

Étape 5.2.2.22

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{81}{4})$

Étape 5.2.2.23

Multipliez $\frac{81}{4}$ par $1$ .

$0 + \frac{81}{4}$

Étape 5.2.2.24

Additionnez $0$ et $\frac{81}{4}$ .

$\frac{81}{4}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{81}{4}$

Forme décimale :

$20.25$

Forme de nombre mixte :

$20 \frac{1}{4}$

Étape 7