Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{2 π}^{4 π} \cos (\frac{x}{4}) d x$

Étape 1

Laissez $u = \frac{x}{4}$ . Alors $d u = \frac{1}{4} d x$ , donc $4 d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \frac{x}{4}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Étape 1.1.2

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$\frac{1}{4}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \frac{x}{4}$ .

$u_{lower} = \frac{2 π}{4}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$u_{lower} = \frac{2 (π)}{4}$

Étape 1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$u_{lower} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$u_{lower} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \frac{x}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{4 π}{4}$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.5.1

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = \frac{4 π}{4}$

Étape 1.5.2

Divisez $π$ par $1$ .

$u_{upper} = π$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = π$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{4}$ .

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) (1 \cdot 4) d u$

Étape 2.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) \cdot 4 d u$

Étape 2.3

Déplacez $4$ à gauche de $\cos (u)$ .

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 4 \cos (u) d u$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $u$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) d u$

Étape 4

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$4 (\sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

Étape 5

Évaluez $\sin (u)$ sur $π$ et sur $\frac{π}{2}$ .

$4 (\sin (π) - \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$4 (\sin (π) - 1 \cdot 1)$

Étape 6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 (\sin (π) - 1)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$4 (\sin (0) - 1)$

Étape 7.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$4 (0 - 1)$

Étape 7.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$4 \cdot - 1$

Étape 7.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4$