Calcul infinitésimal Exemples

$\int 2 p y (8 - y^{\frac{3}{2}}) d y$

Étape 1

Comme $2 p$ est constant par rapport à $y$ , placez $2 p$ en dehors de l’intégrale.

$2 p \int y (8 - y^{\frac{3}{2}}) d y$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 p \int y \cdot 8 + y (- y^{\frac{3}{2}}) d y$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre $y$ et $8$ .

$2 p \int 8 \cdot y + y (- y^{\frac{3}{2}}) d y$

Étape 2.3

Remettez dans l’ordre $y$ et $- 1$ .

$2 p \int 8 \cdot y - 1 \cdot y \cdot y^{\frac{3}{2}} d y$

Étape 2.4

Factorisez le signe négatif.

$2 p \int 8 y - (y \cdot y^{\frac{3}{2}}) d y$

Étape 2.5

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$2 p \int 8 y - (y^{1} y^{\frac{3}{2}}) d y$

Étape 2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 p \int 8 y - y^{1 + \frac{3}{2}} d y$

Étape 2.7

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 p \int 8 y - y^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} d y$

Étape 2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 p \int 8 y - y^{\frac{2 + 3}{2}} d y$

Étape 2.9

Additionnez $2$ et $3$ .

$2 p \int 8 y - y^{\frac{5}{2}} d y$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$2 p (\int 8 y d y + \int - y^{\frac{5}{2}} d y)$

Étape 4

Comme $8$ est constant par rapport à $y$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$2 p (8 \int y d y + \int - y^{\frac{5}{2}} d y)$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 p (8 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - y^{\frac{5}{2}} d y)$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 p (8 (\frac{1}{2} y^{2} + C) - \int y^{\frac{5}{2}} d y)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{\frac{5}{2}}$ par rapport à $y$ est $\frac{2}{7} y^{\frac{7}{2}}$ .

$2 p (8 (\frac{1}{2} y^{2} + C) - (\frac{2}{7} y^{\frac{7}{2}} + C))$

Étape 8

Simplifiez

$2 p (4 y^{2} - \frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7}) + C$

Étape 9

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 p (4 y^{2} - \frac{2}{7} y^{\frac{7}{2}}) + C$