Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{24}^{39} 2 p (10 \sqrt{x}) \sqrt{1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}})}^{2}} d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Multipliez $10$ par $2$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{x} \sqrt{1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}})}^{2}} d x$

Étape 1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Étape 1.3

Multipliez $\frac{5}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Étape 1.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{5}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Étape 1.4.2

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Étape 1.4.3

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}})}^{2}) x} d x$

Étape 1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}})}^{2}) x} d x$

Étape 1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}})}^{2}) x} d x$

Étape 1.4.6

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 1.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}) x} d x$

Étape 1.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}) x} d x$

Étape 1.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}) x} d x$

Étape 1.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}) x} d x$

Étape 1.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{1}})}^{2}) x} d x$

Étape 1.4.6.5

Simplifiez

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x})}^{2}) x} d x$

Étape 1.5

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.5.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5 \sqrt{x}}{x}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{{(5 \sqrt{x})}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

Étape 1.5.2

Appliquez la règle de produit à $5 \sqrt{x}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{5^{2} {\sqrt{x}}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

Étape 1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 {\sqrt{x}}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

Étape 1.6.2

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 1.6.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

Étape 1.6.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}) x} d x$

Étape 1.6.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}) x} d x$

Étape 1.6.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.6.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}) x} d x$

Étape 1.6.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{1}}{x^{2}}) x} d x$

Étape 1.6.2.5

Simplifiez

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x}{x^{2}}) x} d x$

Étape 1.7

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 1.7.1

Factorisez $x$ à partir de $25 x$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 25}{x^{2}}) x} d x$

Étape 1.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.7.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 25}{x \cdot x}) x} d x$

Étape 1.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 25}{x \cdot x}) x} d x$

Étape 1.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25}{x}) x} d x$

Étape 1.8

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{25}{x}) x} d x$

Étape 1.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{\frac{x + 25}{x} x} d x$

Étape 1.10

Associez $\frac{x + 25}{x}$ et $x$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{\frac{(x + 25) x}{x}} d x$

Étape 1.11

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.11.1

Annulez le facteur commun.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{\frac{(x + 25) x}{x}} d x$

Étape 1.11.2

Divisez $x + 25$ par $1$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{x + 25} d x$

Étape 2

Comme $20 p$ est constant par rapport à $x$ , placez $20 p$ en dehors de l’intégrale.

$20 p \int_{24}^{39} \sqrt{x + 25} d x$

Étape 3

Laissez $u = x + 25$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = x + 25$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $x + 25$ .

$\frac{d}{d x} [x + 25]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [25]$

Étape 3.1.4

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 3.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 3.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x + 25$ .

$u_{lower} = 24 + 25$

Étape 3.3

Additionnez $24$ et $25$ .

$u_{lower} = 49$

Étape 3.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x + 25$ .

$u_{upper} = 39 + 25$

Étape 3.5

Additionnez $39$ et $25$ .

$u_{upper} = 64$

Étape 3.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 49$

$u_{upper} = 64$

Étape 3.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$20 p \int_{49}^{64} \sqrt{u} d u$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$20 p \int_{49}^{64} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$20 p \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{49}^{64}$

Étape 6

Associez $\frac{2}{3}$ et $u^{\frac{3}{2}}$ .

$20 p \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{49}^{64}$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ sur $64$ et sur $49$ .

$20 p ((\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$20 p (\frac{2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 7.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 p (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 7.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$20 p (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 7.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$20 p (\frac{2 \cdot 8^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 7.2.4

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$20 p (\frac{2 \cdot 512}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 7.2.5

Multipliez $2$ par $512$ .

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 7.2.6

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot {(7^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 7.2.7

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Étape 7.2.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Étape 7.2.8.2

Réécrivez l’expression.

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 7^{3}}{3})$

Étape 7.2.9

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 343}{3})$

Étape 7.2.10

Multipliez $2$ par $343$ .

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{686}{3})$

Étape 7.2.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$20 p \frac{1024 - 686}{3}$

Étape 7.2.12

Soustrayez $686$ de $1024$ .

$20 p \frac{338}{3}$

Étape 7.2.13

Associez $20$ et $\frac{338}{3}$ .

$p \frac{20 \cdot 338}{3}$

Étape 7.2.14

Multipliez $20$ par $338$ .

$p \frac{6760}{3}$

Étape 7.2.15

Associez $p$ et $\frac{6760}{3}$ .

$\frac{p \cdot 6760}{3}$

Étape 7.2.16

Déplacez $6760$ à gauche de $p$ .

$\frac{6760 p}{3}$

Étape 8

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{6760}{3} p$

Étape 9

Associez $\frac{6760}{3}$ et $p$ .

$\frac{6760 p}{3}$

Étape 10