Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 6}^{- 3} u - \frac{9}{u^{2}} d u$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 6}^{- 3} u d u + \int_{- 6}^{- 3} - \frac{9}{u^{2}} d u$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 6}^{- 3} + \int_{- 6}^{- 3} - \frac{9}{u^{2}} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 6}^{- 3} - \int_{- 6}^{- 3} \frac{9}{u^{2}} d u$

Étape 4

Comme $9$ est constant par rapport à $u$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 6}^{- 3} - (9 \int_{- 6}^{- 3} \frac{1}{u^{2}} d u)$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 6}^{- 3} - 9 \int_{- 6}^{- 3} \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 5.2

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 6}^{- 3} - 9 \int_{- 6}^{- 3} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Étape 5.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 6}^{- 3} - 9 \int_{- 6}^{- 3} u^{2 \cdot - 1} d u$

Étape 5.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 6}^{- 3} - 9 \int_{- 6}^{- 3} u^{- 2} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 6}^{- 3} - 9 (- u^{- 1}]_{- 6}^{- 3})$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Évaluez $\frac{1}{2} u^{2}$ sur $- 3$ et sur $- 6$ .

$(\frac{1}{2} {(- 3)}^{2}) - \frac{1}{2} {(- 6)}^{2} - 9 (- u^{- 1}]_{- 6}^{- 3})$

Étape 7.2

Évaluez $- u^{- 1}$ sur $- 3$ et sur $- 6$ .

$\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - \frac{1}{2} {(- 6)}^{2} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Étape 7.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} {(- 6)}^{2} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Étape 7.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $9$ .

$\frac{9}{2} - \frac{1}{2} {(- 6)}^{2} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Étape 7.3.3

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 36 - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Étape 7.3.4

Multipliez $36$ par $- 1$ .

$\frac{9}{2} - 36 (\frac{1}{2}) - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Étape 7.3.5

Associez $- 36$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{- 36}{2} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Étape 7.3.6

Annulez le facteur commun à $- 36$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 36$ .

$\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 18}{2} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Étape 7.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 18}{2 (1)} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Étape 7.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 1} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Étape 7.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{2} + \frac{- 18}{1} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Étape 7.3.6.2.4

Divisez $- 18$ par $1$ .

$\frac{9}{2} - 18 - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Étape 7.3.7

Pour écrire $- 18$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} - 18 \cdot \frac{2}{2} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Étape 7.3.8

Associez $- 18$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{- 18 \cdot 2}{2} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Étape 7.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9 - 18 \cdot 2}{2} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Étape 7.3.10

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.10.1

Multipliez $- 18$ par $2$ .

$\frac{9 - 36}{2} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Étape 7.3.10.2

Soustrayez $36$ de $9$ .

$\frac{- 27}{2} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Étape 7.3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{27}{2} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Étape 7.3.12

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{27}{2} - 9 (- \frac{1}{- 3} + {(- 6)}^{- 1})$

Étape 7.3.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{27}{2} - 9 (- - \frac{1}{3} + {(- 6)}^{- 1})$

Étape 7.3.14

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{27}{2} - 9 (1 (\frac{1}{3}) + {(- 6)}^{- 1})$

Étape 7.3.15

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$- \frac{27}{2} - 9 (\frac{1}{3} + {(- 6)}^{- 1})$

Étape 7.3.16

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{27}{2} - 9 (\frac{1}{3} + \frac{1}{- 6})$

Étape 7.3.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{27}{2} - 9 (\frac{1}{3} - \frac{1}{6})$

Étape 7.3.18

Pour écrire $\frac{1}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{27}{2} - 9 (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6})$

Étape 7.3.19

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.19.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{27}{2} - 9 (\frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6})$

Étape 7.3.19.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{27}{2} - 9 (\frac{2}{6} - \frac{1}{6})$

Étape 7.3.20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{27}{2} - 9 \frac{2 - 1}{6}$

Étape 7.3.21

Soustrayez $1$ de $2$ .

$- \frac{27}{2} - 9 (\frac{1}{6})$

Étape 7.3.22

Associez $- 9$ et $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{27}{2} + \frac{- 9}{6}$

Étape 7.3.23

Annulez le facteur commun à $- 9$ et $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.23.1

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$- \frac{27}{2} + \frac{3 (- 3)}{6}$

Étape 7.3.23.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.23.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$- \frac{27}{2} + \frac{3 \cdot - 3}{3 \cdot 2}$

Étape 7.3.23.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{27}{2} + \frac{3 \cdot - 3}{3 \cdot 2}$

Étape 7.3.23.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{27}{2} + \frac{- 3}{2}$

Étape 7.3.24

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{27}{2} - \frac{3}{2}$

Étape 7.3.25

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 27 - 3}{2}$

Étape 7.3.26

Soustrayez $3$ de $- 27$ .

$\frac{- 30}{2}$

Étape 7.3.27

Annulez le facteur commun à $- 30$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.27.1

Factorisez $2$ à partir de $- 30$ .

$\frac{2 \cdot - 15}{2}$

Étape 7.3.27.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.27.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 15}{2 (1)}$

Étape 7.3.27.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.27.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 15}{1}$

Étape 7.3.27.2.4

Divisez $- 15$ par $1$ .

$- 15$

Étape 8