Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 8}^{0} x e^{x} d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{x}$ .

$x e^{x}]_{- 8}^{0} - \int_{- 8}^{0} e^{x} d x$

Étape 2

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$x e^{x}]_{- 8}^{0} - (e^{x}]_{- 8}^{0})$

Étape 3

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.1

Évaluez $x e^{x}$ sur $0$ et sur $- 8$ .

$(0 e^{0}) + 8 e^{- 8} - (e^{x}]_{- 8}^{0})$

Étape 3.2

Évaluez $e^{x}$ sur $0$ et sur $- 8$ .

$(0 e^{0}) + 8 e^{- 8} - ((e^{0}) - e^{- 8})$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 \cdot 1 + 8 e^{- 8} - ((e^{0}) - e^{- 8})$

Étape 3.3.2

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 + 8 e^{- 8} - ((e^{0}) - e^{- 8})$

Étape 3.3.3

Additionnez $0$ et $8 e^{- 8}$ .

$8 e^{- 8} - ((e^{0}) - e^{- 8})$

Étape 3.3.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$8 e^{- 8} - (1 - e^{- 8})$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 \frac{1}{e^{8}} - (1 - e^{- 8})$

Étape 4.2

Associez $8$ et $\frac{1}{e^{8}}$ .

$\frac{8}{e^{8}} - (1 - e^{- 8})$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8}{e^{8}} - 1 \cdot 1 - - e^{- 8}$

Étape 4.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{8}{e^{8}} - 1 - - e^{- 8}$

Étape 4.5

Multipliez $- - e^{- 8}$ .

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Étape 4.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{8}{e^{8}} - 1 + 1 e^{- 8}$

Étape 4.5.2

Multipliez $e^{- 8}$ par $1$ .

$\frac{8}{e^{8}} - 1 + e^{- 8}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{8}{e^{8}} - 1 + e^{- 8}$

Forme décimale :

$- 0.99698083 \dots$

Étape 6