Calcul infinitésimal Exemples

$\int 8 x^{3} \sqrt{2 x + 1} d x$

Étape 1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$8 \int x^{3} \sqrt{2 x + 1} d x$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{3}$ et $d v = \sqrt{2 x + 1}$ .

$8 (x^{3} (\frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2}) d x)$

Étape 3

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$8 (x^{3} \frac{{(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2}) d x)$

Étape 3.2

Associez $x^{3}$ et $\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2}) d x)$

Étape 3.3

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{{(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} (3 x^{2}) d x)$

Étape 3.4

Associez $3$ et $\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} x^{2} d x)$

Étape 3.5

Associez $\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ et $x^{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{3} d x)$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{3} d x)$

Étape 3.7

Divisez ${(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ par $1$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2} d x)$

Étape 4

Laissez $u_{1} = 2 x + 1$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{1} = 2 x + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int {u_{1}}^{\frac{3}{2}} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{1})$

Étape 5

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et ${u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{{u_{1}}^{\frac{3}{2}}}{2} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} d u_{1})$

Étape 5.2

Associez $\frac{{u_{1}}^{\frac{3}{2}}}{2}$ et ${(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{{u_{1}}^{\frac{3}{2}} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}{2} d u_{1})$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{3}{2}} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} d u_{1}))$

Étape 7

Laissez $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ . Alors $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , donc $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 7.1

Laissez $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}]$

Étape 7.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Étape 7.1.3

Évaluez $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$ .

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Étape 7.1.3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $\frac{u_{1}}{2}$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Étape 7.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Étape 7.1.3.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Étape 7.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 7.1.4.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $- \frac{1}{2}$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$\frac{1}{2} + 0$

Étape 7.1.4.2

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2})$

Étape 8

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Étape 8.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} (1 \cdot 2) d u_{2})$

Étape 8.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} \cdot 2 d u_{2})$

Étape 8.3

Déplacez $2$ à gauche de ${(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int 2 {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 9

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} (2 \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2}))$

Étape 10

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Étape 10.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{1}{2}) \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 10.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 2}{2} \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 10.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 10.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 10.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 10.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 10.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 1}{1} \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 10.3.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 11

Laissez $u_{3} = 2 u_{2} + 1$ . Alors $d u_{3} = 2 d u_{2}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 11.1

Laissez $u_{3} = 2 u_{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Étape 11.1.1

Différenciez $2 u_{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2} + 1]$

Étape 11.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 u_{2} + 1$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Étape 11.1.3

Évaluez $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$ .

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Étape 11.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{2}$ , la dérivée de $2 u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Étape 11.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Étape 11.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Étape 11.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 11.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , la dérivée de $1$ par rapport à $u_{2}$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 11.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 11.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ et $d u_{3}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} {(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 12

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Étape 12.1

Associez $\frac{1}{2}$ et ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2} {(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} d u_{3})$

Étape 12.2

Associez $\frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}$ et ${(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}} {(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}{2} d u_{3})$

Étape 13

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} {(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} d u_{3}))$

Étape 14

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Étape 14.1

Réécrivez ${(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}$ comme $(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2}) (\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} ((\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2}) (\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})) d u_{3})$

Étape 14.2

Appliquez la propriété distributive.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (\frac{u_{3}}{2} (\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})) d u_{3})$

Étape 14.3

Appliquez la propriété distributive.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (\frac{u_{3}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} + \frac{u_{3}}{2} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})) d u_{3})$

Étape 14.4

Appliquez la propriété distributive.

Étape 14.5

Appliquez la propriété distributive.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (\frac{u_{3}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} + \frac{u_{3}}{2} (- \frac{1}{2})) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})) d u_{3})$

Étape 14.6

Appliquez la propriété distributive.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (\frac{u_{3}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (\frac{u_{3}}{2} (- \frac{1}{2})) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})) d u_{3})$

Étape 14.7

Appliquez la propriété distributive.

Étape 14.8

Remettez dans l’ordre $\frac{u_{3}}{2}$ et $- 1$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{u_{3}}{2} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- 1 \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})) d u_{3})$

Étape 14.9

Déplacez les parenthèses.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{u_{3}}{2} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- 1 \cdot \frac{u_{3}}{2}) \frac{1}{2} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})) d u_{3})$

Étape 14.10

Remettez dans l’ordre ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ et $- 1$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})) d u_{3})$

Étape 14.11

Déplacez les parenthèses.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- \frac{1}{2}) \frac{u_{3}}{2} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})) d u_{3})$

Étape 14.12

Remettez dans l’ordre ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ et $- 1$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})) d u_{3})$

Étape 14.13

Déplacez $\frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2}) d u_{3})$

Étape 14.14

Déplacez les parenthèses.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- 1 \cdot - 1 \frac{1}{2}) \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 14.15

Déplacez les parenthèses.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- 1 \cdot - 1) \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 14.16

Déplacez ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 14.17

Associez ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{u_{3}}{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 14.18

Élevez $u_{3}$ à la puissance $1$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}} {u_{3}}^{1}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 14.19

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2} + 1}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 14.20

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 14.21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3 + 2}{2}}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 14.22

Additionnez $3$ et $2$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 14.23

Multipliez $\frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2}$ par $\frac{u_{3}}{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}} u_{3}}{2 \cdot 2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 14.24

Élevez $u_{3}$ à la puissance $1$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}} {u_{3}}^{1}}{2 \cdot 2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 14.25

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2} + 1}}{2 \cdot 2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 14.26

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2} + \frac{2}{2}}}{2 \cdot 2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 14.27

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5 + 2}{2}}}{2 \cdot 2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 14.28

Additionnez $5$ et $2$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{2 \cdot 2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 14.29

Multipliez $2$ par $2$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 14.30

Associez $- 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{u_{3}}{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 14.31

Factorisez le signe négatif.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- ({u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3})}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 14.32

Élevez $u_{3}$ à la puissance $1$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- ({u_{3}}^{\frac{3}{2}} {u_{3}}^{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 14.33

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{3}{2} + 1}}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 14.34

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 14.35

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{3 + 2}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 14.36

Additionnez $3$ et $2$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 14.37

Multipliez $\frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2 \cdot 2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 14.38

Multipliez $2$ par $2$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 14.39

Associez $- 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 14.40

Multipliez $\frac{- 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}$ par $\frac{u_{3}}{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3}}{2 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 14.41

Factorisez le signe négatif.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- ({u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3})}{2 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 14.42

Élevez $u_{3}$ à la puissance $1$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- ({u_{3}}^{\frac{3}{2}} {u_{3}}^{1})}{2 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 14.43

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{3}{2} + 1}}{2 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 14.44

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{2 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 14.45

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{3 + 2}{2}}}{2 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 14.46

Additionnez $3$ et $2$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 14.47

Multipliez $2$ par $2$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 14.48

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 14.49

Multipliez ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ par $1$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 14.50

Associez ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{2} d u_{3})$

Étape 14.51

Multipliez $\frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} d u_{3})$

Étape 14.52

Multipliez $2$ par $2$ .

Étape 14.53

Additionnez $\frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4}$ et $\frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + 2 \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3})$

Étape 14.54

Associez $2$ et $\frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{2 (- {u_{3}}^{\frac{5}{2}})}{4} + \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3})$

Étape 14.55

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- 2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3})$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{2 (- {u_{3}}^{\frac{5}{2}})}{4} + \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3})$

Étape 15.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{2 (- {u_{3}}^{\frac{5}{2}})}{2 (2)} + \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3})$

Étape 15.2.2

Annulez le facteur commun.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{2 (- {u_{3}}^{\frac{5}{2}})}{2 \cdot 2} + \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3})$

Étape 15.2.3

Réécrivez l’expression.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3})$

Étape 15.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} - \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3})$

Étape 16

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} (\int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} d u_{3} + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2} d u_{3} + \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3}))$

Étape 17

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3} + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2} d u_{3} + \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3}))$

Étape 18

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ par rapport à $u_{3}$ est $\frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}} + C) + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2} d u_{3} + \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3}))$

Étape 19

Associez $\frac{2}{9}$ et ${u_{3}}^{\frac{9}{2}}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9} + C) + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2} d u_{3} + \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3}))$

Étape 20

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9} + C) - \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2} d u_{3} + \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3}))$

Étape 21

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9} + C) - (\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3}) + \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3}))$

Étape 22

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ par rapport à $u_{3}$ est $\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9} + C) - \frac{1}{2} (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C) + \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3}))$

Étape 23

Associez $\frac{2}{7}$ et ${u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9} + C) - \frac{1}{2} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3}))$

Étape 24

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

Étape 25

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u_{3}$ est $\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

Étape 26

Simplifiez

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Étape 26.1

Associez $\frac{2}{5}$ et ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

Étape 26.2

Simplifiez

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{36} + \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{14} - \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{20}) + C$

Étape 26.3

Simplifiez

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Étape 26.3.1

Pour écrire $\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{12}{12}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{12}{12} - \frac{{u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{36} + \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{14} - \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{20}) + C$

Étape 26.3.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $36$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 26.3.2.1

Multipliez $\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ par $\frac{12}{12}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 12}{3 \cdot 12} - \frac{{u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{36} + \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{14} - \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{20}) + C$

Étape 26.3.2.2

Multipliez $3$ par $12$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 12}{36} - \frac{{u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{36} + \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{14} - \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{20}) + C$

Étape 26.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 12 - {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{36} + \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{14} - \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{20}) + C$

Étape 26.3.4

Déplacez $12$ à gauche de $x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$8 (\frac{12 x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{36} + \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{14} - \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{20}) + C$

Étape 27

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 27.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $2 u_{2} + 1$ .

$8 (\frac{12 x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{9}{2}}}{36} + \frac{{(2 u_{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}{14} - \frac{{(2 u_{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}{20}) + C$

Étape 27.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{12 x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - {(2 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{9}{2}}}{36} + \frac{{(2 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{7}{2}}}{14} - \frac{{(2 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{5}{2}}}{20}) + C$

Étape 27.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x + 1$ .

$8 (\frac{12 x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - {(2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{9}{2}}}{36} + \frac{{(2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{7}{2}}}{14} - \frac{{(2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{5}{2}}}{20}) + C$

Étape 28

Remettez les termes dans l’ordre.

$8 (\frac{1}{36} (12 x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - {(2 (\frac{1}{2} (2 x + 1) - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{9}{2}}) + \frac{1}{14} {(2 (\frac{1}{2} (2 x + 1) - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{7}{2}} - \frac{1}{20} {(2 (\frac{1}{2} (2 x + 1) - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C$