Calcul infinitésimal Exemples

$\int 81 x^{3} e^{3 x} d x$

Étape 1

Comme $81$ est constant par rapport à $x$ , placez $81$ en dehors de l’intégrale.

$81 \int x^{3} e^{3 x} d x$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{3}$ et $d v = e^{3 x}$ .

$81 (x^{3} (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (3 x^{2}) d x)$

Étape 3

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $e^{3 x}$ .

$81 (x^{3} \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (3 x^{2}) d x)$

Étape 3.2

Associez $x^{3}$ et $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (3 x^{2}) d x)$

Étape 3.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $e^{3 x}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} (3 x^{2}) d x)$

Étape 3.4

Associez $3$ et $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \int \frac{3 e^{3 x}}{3} x^{2} d x)$

Étape 3.5

Associez $\frac{3 e^{3 x}}{3}$ et $x^{2}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \int \frac{3 e^{3 x} x^{2}}{3} d x)$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.6.1

Annulez le facteur commun.

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \int \frac{3 e^{3 x} x^{2}}{3} d x)$

Étape 3.6.2

Divisez $e^{3 x} x^{2}$ par $1$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \int e^{3 x} x^{2} d x)$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2}$ et $d v = e^{3 x}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (x^{2} (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x))$

Étape 5

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $e^{3 x}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (x^{2} \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x))$

Étape 5.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x))$

Étape 5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $e^{3 x}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} (2 x) d x))$

Étape 5.4

Associez $2$ et $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{2 e^{3 x}}{3} x d x))$

Étape 5.5

Associez $\frac{2 e^{3 x}}{3}$ et $x$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{2 e^{3 x} x}{3} d x))$

Étape 6

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{2}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - (\frac{2}{3} \int e^{3 x} x d x)))$

Étape 7

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{3 x}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)))$

Étape 8

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $e^{3 x}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)))$

Étape 8.2

Associez $x$ et $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)))$

Étape 8.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $e^{3 x}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x)))$

Étape 9

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x))))$

Étape 10

Laissez $u = 3 x$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 10.1

Laissez $u = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 10.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 10.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 10.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 10.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 10.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u)))$

Étape 11

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u)))$

Étape 12

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))))$

Étape 13

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Étape 13.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u)))$

Étape 13.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u)))$

Étape 14

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))))$

Étape 15

Réécrivez $81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))))$ comme $81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \frac{x^{2} e^{3 x}}{3} + \frac{2 x e^{3 x}}{9} - \frac{2 e^{u}}{27}) + C$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \frac{x^{2} e^{3 x}}{3} + \frac{2 x e^{3 x}}{9} - \frac{2 e^{u}}{27}) + C$

Étape 16

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \frac{x^{2} e^{3 x}}{3} + \frac{2 x e^{3 x}}{9} - \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Étape 17

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Étape 17.1

Appliquez la propriété distributive.

$81 \frac{x^{3} e^{3 x}}{3} + 81 (- \frac{x^{2} e^{3 x}}{3}) + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Étape 17.2

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Étape 17.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 17.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $81$ .

$3 (27) \frac{x^{3} e^{3 x}}{3} + 81 (- \frac{x^{2} e^{3 x}}{3}) + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Étape 17.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 27 \frac{x^{3} e^{3 x}}{3} + 81 (- \frac{x^{2} e^{3 x}}{3}) + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Étape 17.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$27 (x^{3} e^{3 x}) + 81 (- \frac{x^{2} e^{3 x}}{3}) + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Étape 17.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 17.2.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{2} e^{3 x}}{3}$ dans le numérateur.

$27 (x^{3} e^{3 x}) + 81 \frac{- x^{2} e^{3 x}}{3} + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Étape 17.2.2.2

Factorisez $3$ à partir de $81$ .

$27 (x^{3} e^{3 x}) + 3 (27) \frac{- x^{2} e^{3 x}}{3} + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Étape 17.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$27 (x^{3} e^{3 x}) + 3 \cdot 27 \frac{- x^{2} e^{3 x}}{3} + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Étape 17.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$27 (x^{3} e^{3 x}) + 27 (- x^{2} e^{3 x}) + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Étape 17.2.3

Multipliez $- 1$ par $27$ .

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Étape 17.2.4

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 17.2.4.1

Factorisez $9$ à partir de $81$ .

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 9 (9) \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Étape 17.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 9 \cdot 9 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Étape 17.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 9 (2 x e^{3 x}) + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Étape 17.2.5

Multipliez $2$ par $9$ .

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 18 (x e^{3 x}) + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Étape 17.2.6

Annulez le facteur commun de $27$ .

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Étape 17.2.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 e^{3 x}}{27}$ dans le numérateur.

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 18 (x e^{3 x}) + 81 \frac{- 2 e^{3 x}}{27} + C$

Étape 17.2.6.2

Factorisez $27$ à partir de $81$ .

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 18 (x e^{3 x}) + 27 (3) \frac{- 2 e^{3 x}}{27} + C$

Étape 17.2.6.3

Annulez le facteur commun.

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 18 (x e^{3 x}) + 27 \cdot 3 \frac{- 2 e^{3 x}}{27} + C$

Étape 17.2.6.4

Réécrivez l’expression.

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 18 (x e^{3 x}) + 3 (- 2 e^{3 x}) + C$

Étape 17.2.7

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 18 (x e^{3 x}) - 6 e^{3 x} + C$

Étape 17.3

Supprimez les parenthèses.

$27 x^{3} e^{3 x} - 27 x^{2} e^{3 x} + 18 x e^{3 x} - 6 e^{3 x} + C$