Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{8}^{9} x + \frac{2}{x} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{8}^{9} x d x + \int_{8}^{9} \frac{2}{x} d x$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{8}^{9} + \int_{8}^{9} \frac{2}{x} d x$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{8}^{9} + 2 \int_{8}^{9} \frac{1}{x} d x$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{8}^{9} + 2 (\ln (| x |)]_{8}^{9})$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.1.1

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2}$ sur $9$ et sur $8$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 9^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 2 (\ln (| x |)]_{8}^{9})$

Étape 5.1.2

Évaluez $\ln (| x |)$ sur $9$ et sur $8$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Étape 5.1.3

Simplifiez

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Étape 5.1.3.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 81 - \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Étape 5.1.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $81$ .

$\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Étape 5.1.3.3

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 64 + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Étape 5.1.3.4

Multipliez $64$ par $- 1$ .

$\frac{81}{2} - 64 (\frac{1}{2}) + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Étape 5.1.3.5

Associez $- 64$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{81}{2} + \frac{- 64}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Étape 5.1.3.6

Annulez le facteur commun à $- 64$ et $2$ .

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Étape 5.1.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 64$ .

$\frac{81}{2} + \frac{2 \cdot - 32}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Étape 5.1.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.3.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{81}{2} + \frac{2 \cdot - 32}{2 (1)} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Étape 5.1.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{81}{2} + \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot 1} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Étape 5.1.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{81}{2} + \frac{- 32}{1} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Étape 5.1.3.6.2.4

Divisez $- 32$ par $1$ .

$\frac{81}{2} - 32 + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Étape 5.1.3.7

Pour écrire $- 32$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{81}{2} - 32 \cdot \frac{2}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Étape 5.1.3.8

Associez $- 32$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{81}{2} + \frac{- 32 \cdot 2}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Étape 5.1.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{81 - 32 \cdot 2}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Étape 5.1.3.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.3.10.1

Multipliez $- 32$ par $2$ .

$\frac{81 - 64}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Étape 5.1.3.10.2

Soustrayez $64$ de $81$ .

$\frac{17}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Étape 5.1.3.11

Pour écrire $2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{17}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |)) \cdot \frac{2}{2}$

Étape 5.1.3.12

Associez $2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{17}{2} + \frac{2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |)) \cdot 2}{2}$

Étape 5.1.3.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{17 + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |)) \cdot 2}{2}$

Étape 5.1.3.14

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{17 + 4 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))}{2}$

Étape 5.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{17 + 4 \ln (\frac{| 9 |}{| 8 |})}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $9$ est $9$ .

$\frac{17 + 4 \ln (\frac{9}{| 8 |})}{2}$

Étape 5.3.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $8$ est $8$ .

$\frac{17 + 4 \ln (\frac{9}{8})}{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{17 + 4 \ln (\frac{9}{8})}{2}$

Forme décimale :

$8.73556607 \dots$

Étape 7