Calcul infinitésimal Exemples

$\int 5 {(\sqrt{v^{2} + 6})}^{2} d v$

Étape 1

Réécrivez ${(\sqrt{v^{2} + 6})}^{2}$ comme $v^{2} + 6$ .

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{v^{2} + 6}$ comme ${(v^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 5 {({(v^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} d v$

Étape 1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 5 {(v^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} d v$

Étape 1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\int 5 {(v^{2} + 6)}^{\frac{2}{2}} d v$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int 5 {(v^{2} + 6)}^{\frac{2}{2}} d v$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int 5 {(v^{2} + 6)}^{1} d v$

Étape 1.5

Simplifiez

$\int 5 (v^{2} + 6) d v$

Étape 2

Multipliez $5 (v^{2} + 6)$ .

$\int 5 v^{2} + 5 \cdot 6 d v$

Étape 3

Multipliez $5$ par $6$ .

$\int 5 v^{2} + 30 d v$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 5 v^{2} d v + \int 30 d v$

Étape 5

Comme $5$ est constant par rapport à $v$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int v^{2} d v + \int 30 d v$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $v^{2}$ par rapport à $v$ est $\frac{1}{3} v^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} v^{3} + C) + \int 30 d v$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$5 (\frac{1}{3} v^{3} + C) + 30 v + C$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $v^{3}$ .

$5 (\frac{v^{3}}{3} + C) + 30 v + C$

Étape 8.2

Simplifiez

$\frac{5 v^{3}}{3} + 30 v + C$

Étape 8.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{5}{3} v^{3} + 30 v + C$