Calcul infinitésimal Exemples

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} + x \sqrt{x} d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} + x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 1.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} + x^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} + x^{1 + \frac{1}{2}} d x$

Étape 1.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d x$

Étape 1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2 + 1}{2}} d x$

Étape 1.2.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 6

Simplifiez

$10 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$