Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{5}^{7} - \frac{2}{x^{3}} d x$

Étape 1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{5}^{7} \frac{2}{x^{3}} d x$

Étape 2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$- (2 \int_{5}^{7} \frac{1}{x^{3}} d x)$

Étape 3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \int_{5}^{7} \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 3.2

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- 2 \int_{5}^{7} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Étape 3.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int_{5}^{7} x^{3 \cdot - 1} d x$

Étape 3.3.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 2 \int_{5}^{7} x^{- 3} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{5}^{7})$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Simplifiez

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Étape 5.1.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{x^{- 2}}{2}]_{5}^{7})$

Étape 5.1.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{5}^{7})$

Étape 5.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Évaluez $- \frac{1}{2 x^{2}}$ sur $7$ et sur $5$ .

$- 2 ((- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 5^{2}})$

Étape 5.2.2

Simplifiez

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Étape 5.2.2.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2 \cdot 49} + \frac{1}{2 \cdot 5^{2}})$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $2$ par $49$ .

$- 2 (- \frac{1}{98} + \frac{1}{2 \cdot 5^{2}})$

Étape 5.2.2.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$- 2 (- \frac{1}{98} + \frac{1}{2 \cdot 25})$

Étape 5.2.2.4

Multipliez $2$ par $25$ .

$- 2 (- \frac{1}{98} + \frac{1}{50})$

Étape 5.2.2.5

Pour écrire $- \frac{1}{98}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{25}{25}$ .

$- 2 (- \frac{1}{98} \cdot \frac{25}{25} + \frac{1}{50})$

Étape 5.2.2.6

Pour écrire $\frac{1}{50}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{49}{49}$ .

$- 2 (- \frac{1}{98} \cdot \frac{25}{25} + \frac{1}{50} \cdot \frac{49}{49})$

Étape 5.2.2.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2450$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.2.2.7.1

Multipliez $\frac{1}{98}$ par $\frac{25}{25}$ .

$- 2 (- \frac{25}{98 \cdot 25} + \frac{1}{50} \cdot \frac{49}{49})$

Étape 5.2.2.7.2

Multipliez $98$ par $25$ .

$- 2 (- \frac{25}{2450} + \frac{1}{50} \cdot \frac{49}{49})$

Étape 5.2.2.7.3

Multipliez $\frac{1}{50}$ par $\frac{49}{49}$ .

$- 2 (- \frac{25}{2450} + \frac{49}{50 \cdot 49})$

Étape 5.2.2.7.4

Multipliez $50$ par $49$ .

$- 2 (- \frac{25}{2450} + \frac{49}{2450})$

Étape 5.2.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 2 \frac{- 25 + 49}{2450}$

Étape 5.2.2.9

Additionnez $- 25$ et $49$ .

$- 2 (\frac{24}{2450})$

Étape 5.2.2.10

Annulez le facteur commun à $24$ et $2450$ .

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Étape 5.2.2.10.1

Factorisez $2$ à partir de $24$ .

$- 2 \frac{2 (12)}{2450}$

Étape 5.2.2.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2450$ .

$- 2 \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1225}$

Étape 5.2.2.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 2 \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1225}$

Étape 5.2.2.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 (\frac{12}{1225})$

Étape 5.2.2.11

Associez $- 2$ et $\frac{12}{1225}$ .

$\frac{- 2 \cdot 12}{1225}$

Étape 5.2.2.12

Multipliez $- 2$ par $12$ .

$\frac{- 24}{1225}$

Étape 5.2.2.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{24}{1225}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{24}{1225}$

Forme décimale :

$- 0.01959183 \dots$

Étape 7