Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{5}^{10} \sqrt{100 - x^{2}} d x$

Étape 1

Laissez $x = 10 \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 10 \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $10 \cos (t)$ est positif.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 - {(10 \sin (t))}^{2}} (10 \cos (t)) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{100 - {(10 \sin (t))}^{2}}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $10 \sin (t)$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 - (10^{2} \sin^{2} (t))} (10 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.1.2

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 - (100 \sin^{2} (t))} (10 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.1.3

Multipliez $100$ par $- 1$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 - 100 \sin^{2} (t)} (10 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.2

Factorisez $100$ à partir de $100$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 (1) - 100 \sin^{2} (t)} (10 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.3

Factorisez $100$ à partir de $- 100 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 (1) + 100 (- \sin^{2} (t))} (10 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.4

Factorisez $100$ à partir de $100 (1) + 100 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 (1 - \sin^{2} (t))} (10 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 \cos^{2} (t)} (10 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.6

Réécrivez $100 \cos^{2} (t)$ comme ${(10 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(10 \cos (t))}^{2}} (10 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 10 \cos (t) (10 \cos (t)) d t$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Multipliez $10$ par $10$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 100 \cos (t) \cos (t) d t$

Étape 2.2.2

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 100 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Étape 2.2.3

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 100 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Étape 2.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 100 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Étape 2.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 100 \cos^{2} (t) d t$

Étape 3

Comme $100$ est constant par rapport à $t$ , placez $100$ en dehors de l’intégrale.

$100 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Étape 4

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (t)$ en $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$100 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$100 (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $100$ .

$\frac{100}{2} \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun à $100$ et $2$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $100$ .

$\frac{2 \cdot 50}{2} \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 50}{2 (1)} \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1} \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{50}{1} \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 6.2.2.4

Divisez $50$ par $1$ .

$50 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$50 (\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$50 (t]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Étape 9

Laissez $u = 2 t$ . Alors $d u = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 9.1

Laissez $u = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 9.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 9.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 9.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 9.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 9.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{6}$

Étape 9.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (3)}$

Étape 9.3.2

Annulez le facteur commun.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Étape 9.3.3

Réécrivez l’expression.

$u_{lower} = \frac{π}{3}$

Étape 9.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Étape 9.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.5.1

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Étape 9.5.2

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = π$

Étape 9.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = \frac{π}{3}$

$u_{upper} = π$

Étape 9.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$50 (t]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{3}}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 10

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$50 (t]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{3}}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Étape 11

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$50 (t]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{\frac{π}{3}}^{π} \cos (u) d u)$

Étape 12

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$50 (t]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{\frac{π}{3}}^{π})$

Étape 13

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (u)]_{\frac{π}{3}}^{π}$ .

$50 (t]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u)]_{\frac{π}{3}}^{π}}{2})$

Étape 14

Remplacez et simplifiez.

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Étape 14.1

Évaluez $t$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $\frac{π}{6}$ .

$50 ((\frac{π}{2}) - \frac{π}{6} + \frac{\sin (u)]_{\frac{π}{3}}^{π}}{2})$

Étape 14.2

Évaluez $\sin (u)$ sur $π$ et sur $\frac{π}{3}$ .

$50 ((\frac{π}{2}) - \frac{π}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Étape 14.3

Simplifiez

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Étape 14.3.1

Pour écrire $\frac{π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$50 (\frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Étape 14.3.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 14.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$50 (\frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Étape 14.3.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$50 (\frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Étape 14.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$50 (\frac{π \cdot 3 - π}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Étape 14.3.4

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$50 (\frac{3 \cdot π - π}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Étape 14.3.5

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$50 (\frac{2 π}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Étape 14.3.6

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 14.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$50 (\frac{2 (π)}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Étape 14.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.3.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$50 (\frac{2 π}{2 \cdot 3} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Étape 14.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$50 (\frac{2 π}{2 \cdot 3} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Étape 14.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$50 (\frac{π}{3} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

$50 (\frac{π}{3} + \frac{\sin (π) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Étape 15

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$50 (\frac{π}{3} + \frac{\sin (π) - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2})$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.1.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$50 (\frac{π}{3} + \frac{\sin (0) - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2})$

Étape 16.1.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$50 (\frac{π}{3} + \frac{0 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2})$

Étape 16.1.1.3

Soustrayez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ de $0$ .

$50 (\frac{π}{3} + \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2})$

Étape 16.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$50 (\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 16.1.3

Multipliez $- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 16.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$50 (\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2})$

Étape 16.1.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$50 (\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4})$

Étape 16.2

Appliquez la propriété distributive.

$50 \frac{π}{3} + 50 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

Étape 16.3

Associez $50$ et $\frac{π}{3}$ .

$\frac{50 π}{3} + 50 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

Étape 16.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 16.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{4}$ dans le numérateur.

$\frac{50 π}{3} + 50 \frac{- \sqrt{3}}{4}$

Étape 16.4.2

Factorisez $2$ à partir de $50$ .

$\frac{50 π}{3} + 2 (25) \frac{- \sqrt{3}}{4}$

Étape 16.4.3

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{50 π}{3} + 2 \cdot 25 \frac{- \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Étape 16.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{50 π}{3} + 2 \cdot 25 \frac{- \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Étape 16.4.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{50 π}{3} + 25 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 16.5

Associez $25$ et $\frac{- \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{50 π}{3} + \frac{25 (- \sqrt{3})}{2}$

Étape 16.6

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$\frac{50 π}{3} + \frac{- 25 \sqrt{3}}{2}$

Étape 16.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{50 π}{3} - \frac{25 \sqrt{3}}{2}$

Étape 17

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{50 π}{3} - \frac{25 \sqrt{3}}{2}$

Forme décimale :

$30.70924246 \dots$

Étape 18