Calcul infinitésimal Exemples

$\int 4 e^{2 x} + \frac{1}{x^{5}} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 4 e^{2 x} d x + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Étape 2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int e^{2 x} d x + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Étape 3

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 3.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$4 \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Étape 4

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$4 \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Étape 6

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{4}{2} \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Étape 6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Étape 6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Étape 6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1} \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Étape 6.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Étape 7

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$2 (e^{u} + C) + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Étape 8

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 8.1

Retirez $x^{5}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$2 (e^{u} + C) + \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

Étape 8.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Étape 8.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (e^{u} + C) + \int x^{5 \cdot - 1} d x$

Étape 8.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$2 (e^{u} + C) + \int x^{- 5} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$2 (e^{u} + C) - \frac{1}{4} x^{- 4} + C$

Étape 10

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Étape 10.1

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$2 e^{u} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{4}} + C$

Étape 10.2

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Étape 10.2.1

Multipliez $\frac{1}{x^{4}}$ par $\frac{1}{4}$ .

$2 e^{u} - \frac{1}{x^{4} \cdot 4} + C$

Étape 10.2.2

Déplacez $4$ à gauche de $x^{4}$ .

$2 e^{u} - \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$2 e^{2 x} - \frac{1}{4 x^{4}} + C$