Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{4}^{9} \frac{x - \sqrt{x}}{x^{3}} d x$

Étape 1

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int_{4}^{9} (x - \sqrt{x}) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{4}^{9} (x - \sqrt{x}) x^{3 \cdot - 1} d x$

Étape 2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int_{4}^{9} (x - \sqrt{x}) x^{- 3} d x$

Étape 3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{9} (x - x^{\frac{1}{2}}) x^{- 3} d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{4}^{9} x \cdot x^{- 3} - x^{\frac{1}{2}} x^{- 3} d x$

Étape 4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int_{4}^{9} x^{1} x^{- 3} - x^{\frac{1}{2}} x^{- 3} d x$

Étape 4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{4}^{9} x^{1 - 3} - x^{\frac{1}{2}} x^{- 3} d x$

Étape 4.4

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1}{2}} x^{- 3} d x$

Étape 4.5

Factorisez le signe négatif.

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - (x^{\frac{1}{2}} x^{- 3}) d x$

Étape 4.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1}{2} - 3} d x$

Étape 4.7

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Étape 4.8

Associez $- 3$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}} d x$

Étape 4.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1 - 3 \cdot 2}{2}} d x$

Étape 4.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.10.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1 - 6}{2}} d x$

Étape 4.10.2

Soustrayez $6$ de $1$ .

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{- 5}{2}} d x$

Étape 5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{- \frac{5}{2}} d x$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{4}^{9} x^{- 2} d x + \int_{4}^{9} - x^{- \frac{5}{2}} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1}]_{4}^{9} + \int_{4}^{9} - x^{- \frac{5}{2}} d x$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- x^{- 1}]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} x^{- \frac{5}{2}} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{5}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}}$ .

$- x^{- 1}]_{4}^{9} - (- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}}]_{4}^{9})$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Simplifiez

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Étape 10.1.1

Associez $x^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{2}{3}$ .

$- x^{- 1}]_{4}^{9} - (- \frac{x^{- \frac{3}{2}} \cdot 2}{3}]_{4}^{9})$

Étape 10.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{- \frac{3}{2}}$ .

$- x^{- 1}]_{4}^{9} - (- \frac{2 \cdot x^{- \frac{3}{2}}}{3}]_{4}^{9})$

Étape 10.1.3

Placez $x^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1}]_{4}^{9} - (- \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}}]_{4}^{9})$

Étape 10.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.2.1

Évaluez $- x^{- 1}$ sur $9$ et sur $4$ .

$(- 9^{- 1}) + 4^{- 1} - (- \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}}]_{4}^{9})$

Étape 10.2.2

Évaluez $- \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ sur $9$ et sur $4$ .

$(- 9^{- 1}) + 4^{- 1} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Étape 10.2.3

Simplifiez

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Étape 10.2.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{9} + 4^{- 1} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Étape 10.2.3.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{1}{4} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Étape 10.2.3.3

Pour écrire $- \frac{1}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Étape 10.2.3.4

Pour écrire $\frac{1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Étape 10.2.3.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $36$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 10.2.3.5.1

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{4}{9 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Étape 10.2.3.5.2

Multipliez $9$ par $4$ .

$- \frac{4}{36} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Étape 10.2.3.5.3

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{4}{36} + \frac{9}{4 \cdot 9} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Étape 10.2.3.5.4

Multipliez $4$ par $9$ .

$- \frac{4}{36} + \frac{9}{36} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Étape 10.2.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 4 + 9}{36} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Étape 10.2.3.7

Additionnez $- 4$ et $9$ .

$\frac{5}{36} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Étape 10.2.3.8

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{3 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Étape 10.2.3.9

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{3 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Étape 10.2.3.10

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.3.10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{3 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Étape 10.2.3.10.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{3 \cdot 3^{3}} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Étape 10.2.3.11

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{3 \cdot 27} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Étape 10.2.3.12

Multipliez $3$ par $27$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Étape 10.2.3.13

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}})$

Étape 10.2.3.14

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}})$

Étape 10.2.3.15

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.3.15.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}})$

Étape 10.2.3.15.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot 2^{3}})$

Étape 10.2.3.16

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot 8})$

Étape 10.2.3.17

Multipliez $3$ par $8$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{24})$

Étape 10.2.3.18

Annulez le facteur commun à $2$ et $24$ .

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Étape 10.2.3.18.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2 (1)}{24})$

Étape 10.2.3.18.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.3.18.2.1

Factorisez $2$ à partir de $24$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12})$

Étape 10.2.3.18.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12})$

Étape 10.2.3.18.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{1}{12})$

Étape 10.2.3.19

Pour écrire $- \frac{2}{81}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{12})$

Étape 10.2.3.20

Pour écrire $\frac{1}{12}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{27}{27}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{12} \cdot \frac{27}{27})$

Étape 10.2.3.21

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $324$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 10.2.3.21.1

Multipliez $\frac{2}{81}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2 \cdot 4}{81 \cdot 4} + \frac{1}{12} \cdot \frac{27}{27})$

Étape 10.2.3.21.2

Multipliez $81$ par $4$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2 \cdot 4}{324} + \frac{1}{12} \cdot \frac{27}{27})$

Étape 10.2.3.21.3

Multipliez $\frac{1}{12}$ par $\frac{27}{27}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2 \cdot 4}{324} + \frac{27}{12 \cdot 27})$

Étape 10.2.3.21.4

Multipliez $12$ par $27$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2 \cdot 4}{324} + \frac{27}{324})$

Étape 10.2.3.22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5}{36} - \frac{- 2 \cdot 4 + 27}{324}$

Étape 10.2.3.23

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.3.23.1

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$\frac{5}{36} - \frac{- 8 + 27}{324}$

Étape 10.2.3.23.2

Additionnez $- 8$ et $27$ .

$\frac{5}{36} - \frac{19}{324}$

Étape 10.2.3.24

Pour écrire $\frac{5}{36}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{5}{36} \cdot \frac{9}{9} - \frac{19}{324}$

Étape 10.2.3.25

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $324$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 10.2.3.25.1

Multipliez $\frac{5}{36}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{5 \cdot 9}{36 \cdot 9} - \frac{19}{324}$

Étape 10.2.3.25.2

Multipliez $36$ par $9$ .

$\frac{5 \cdot 9}{324} - \frac{19}{324}$

Étape 10.2.3.26

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 \cdot 9 - 19}{324}$

Étape 10.2.3.27

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.3.27.1

Multipliez $5$ par $9$ .

$\frac{45 - 19}{324}$

Étape 10.2.3.27.2

Soustrayez $19$ de $45$ .

$\frac{26}{324}$

Étape 10.2.3.28

Annulez le facteur commun à $26$ et $324$ .

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Étape 10.2.3.28.1

Factorisez $2$ à partir de $26$ .

$\frac{2 (13)}{324}$

Étape 10.2.3.28.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.3.28.2.1

Factorisez $2$ à partir de $324$ .

$\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 162}$

Étape 10.2.3.28.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 162}$

Étape 10.2.3.28.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{13}{162}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{13}{162}$

Forme décimale :

$0.08024691 \dots$

Étape 12