Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 5}^{0} \frac{w^{2}}{2} + 2 w - 2 d w$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 5}^{0} \frac{w^{2}}{2} d w + \int_{- 5}^{0} 2 w d w + \int_{- 5}^{0} - 2 d w$

Étape 2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $w$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{- 5}^{0} w^{2} d w + \int_{- 5}^{0} 2 w d w + \int_{- 5}^{0} - 2 d w$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $w^{2}$ par rapport à $w$ est $\frac{1}{3} w^{3}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} w^{3}]_{- 5}^{0} + \int_{- 5}^{0} 2 w d w + \int_{- 5}^{0} - 2 d w$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $w$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} w^{3}]_{- 5}^{0} + 2 \int_{- 5}^{0} w d w + \int_{- 5}^{0} - 2 d w$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $w$ par rapport à $w$ est $\frac{1}{2} w^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} w^{3}]_{- 5}^{0} + 2 (\frac{1}{2} w^{2}]_{- 5}^{0}) + \int_{- 5}^{0} - 2 d w$

Étape 6

Associez $\frac{1}{2}$ et $w^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} w^{3}]_{- 5}^{0} + 2 (\frac{w^{2}}{2}]_{- 5}^{0}) + \int_{- 5}^{0} - 2 d w$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} w^{3}]_{- 5}^{0} + 2 (\frac{w^{2}}{2}]_{- 5}^{0}) + - 2 w]_{- 5}^{0}$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $\frac{1}{3} w^{3}$ sur $0$ et sur $- 5$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} {(- 5)}^{3}) + 2 (\frac{w^{2}}{2}]_{- 5}^{0}) + - 2 w]_{- 5}^{0}$

Étape 8.2

Évaluez $\frac{w^{2}}{2}$ sur $0$ et sur $- 5$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - \frac{1}{3} {(- 5)}^{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + - 2 w]_{- 5}^{0}$

Étape 8.3

Évaluez $- 2 w$ sur $0$ et sur $- 5$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - \frac{1}{3} {(- 5)}^{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Étape 8.4

Simplifiez

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Étape 8.4.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} {(- 5)}^{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Étape 8.4.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $0$ .

$\frac{1}{2} (0 - \frac{1}{3} {(- 5)}^{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Étape 8.4.3

Élevez $- 5$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{2} (0 - \frac{1}{3} \cdot - 125) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Étape 8.4.4

Multipliez $- 125$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} (0 + 125 (\frac{1}{3})) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Étape 8.4.5

Associez $125$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (0 + \frac{125}{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Étape 8.4.6

Additionnez $0$ et $\frac{125}{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{125}{3} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Étape 8.4.7

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{125}{3}$ .

$\frac{125}{2 \cdot 3} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Étape 8.4.8

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{125}{6} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Étape 8.4.9

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{125}{6} + 2 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Étape 8.4.10

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 8.4.10.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{125}{6} + 2 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Étape 8.4.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.4.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{125}{6} + 2 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Étape 8.4.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{125}{6} + 2 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Étape 8.4.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{125}{6} + 2 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Étape 8.4.10.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{125}{6} + 2 (0 - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Étape 8.4.11

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$\frac{125}{6} + 2 (0 - \frac{25}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Étape 8.4.12

Soustrayez $\frac{25}{2}$ de $0$ .

$\frac{125}{6} + 2 (- \frac{25}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Étape 8.4.13

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{125}{6} - 2 (\frac{25}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Étape 8.4.14

Associez $- 2$ et $\frac{25}{2}$ .

$\frac{125}{6} + \frac{- 2 \cdot 25}{2} + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Étape 8.4.15

Multipliez $- 2$ par $25$ .

$\frac{125}{6} + \frac{- 50}{2} + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Étape 8.4.16

Annulez le facteur commun à $- 50$ et $2$ .

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Étape 8.4.16.1

Factorisez $2$ à partir de $- 50$ .

$\frac{125}{6} + \frac{2 \cdot - 25}{2} + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Étape 8.4.16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.4.16.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{125}{6} + \frac{2 \cdot - 25}{2 (1)} + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Étape 8.4.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{125}{6} + \frac{2 \cdot - 25}{2 \cdot 1} + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Étape 8.4.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{125}{6} + \frac{- 25}{1} + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Étape 8.4.16.2.4

Divisez $- 25$ par $1$ .

$\frac{125}{6} - 25 + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Étape 8.4.17

Pour écrire $- 25$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{125}{6} - 25 \cdot \frac{6}{6} + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Étape 8.4.18

Associez $- 25$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{125}{6} + \frac{- 25 \cdot 6}{6} + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Étape 8.4.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{125 - 25 \cdot 6}{6} + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Étape 8.4.20

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.4.20.1

Multipliez $- 25$ par $6$ .

$\frac{125 - 150}{6} + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Étape 8.4.20.2

Soustrayez $150$ de $125$ .

$\frac{- 25}{6} + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Étape 8.4.21

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{25}{6} + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Étape 8.4.22

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$- \frac{25}{6} + 0 + 2 \cdot - 5$

Étape 8.4.23

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$- \frac{25}{6} + 0 - 10$

Étape 8.4.24

Soustrayez $10$ de $0$ .

$- \frac{25}{6} - 10$

Étape 8.4.25

Pour écrire $- 10$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{25}{6} - 10 \cdot \frac{6}{6}$

Étape 8.4.26

Associez $- 10$ et $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{25}{6} + \frac{- 10 \cdot 6}{6}$

Étape 8.4.27

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 25 - 10 \cdot 6}{6}$

Étape 8.4.28

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.4.28.1

Multipliez $- 10$ par $6$ .

$\frac{- 25 - 60}{6}$

Étape 8.4.28.2

Soustrayez $60$ de $- 25$ .

$\frac{- 85}{6}$

Étape 8.4.29

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{85}{6}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{85}{6}$

Forme décimale :

$- 14.1\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$- 14 \frac{1}{6}$

Étape 10